Product

[PhilipVoets]

Zij Tn = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n

Pn = T2/(T2 - 1) x T3/(T3 - 1) x T4/(T4 - 1) x … x Tn/(Tn - 1), dan is P1999 ongeveer?

[wnvl1]

hint:
Tn = 1+2+...+n=n(n+1)/2

[PhilipVoets]

Ja, zover was ik ook al

Maar dan kom ik uit op:

Pn = n(n+1)/(n(n+1)-1) x (n+1)(n+2)/((n+1)(n+2)-1) x …

En zo snel kreeg ik dat niet vereenvoudigd

[PhilipVoets]

Die -1 moet -2 zijn, excuus

[RedCat]

Je hebt P(n) al gegeven als product van factoren:

\(P(n) = \prod_{i=2}^n \frac{i(i+1)}{i(i+1)-2}\)

herschrijf de noemer:

\(P(n) = \prod_{i=2}^n \frac{i(i+1)}{i^2+i-2}\)

ofwel

\(P(n) = \prod_{i=2}^n \frac{i(i+1)}{(i-1)(i+2)}\)

In het product P(n) ontstaan hierdoor gelijke kwadraten in de teller en noemer, die tegen elkaar wegvallen.
Voorbeeld voor n=6:

\(P(6) = \frac{2\cdot 3}{1\cdot 4}\cdot \frac{3\cdot 4}{2\cdot 5}\cdot \frac{4\cdot 5}{3\cdot 6}\cdot\frac{5\cdot 6}{4\cdot 7}\cdot\frac{6\cdot 7}{5\cdot 8}\)

In dit geval vallen beide \(4^2\) in teller en noemer tegen elkaar weg, hetzelfde geldt voor \(5^2\)
Dit levert:

\(P(6) = \frac{2\cdot 3\cdot 3\cdot 6 \cdot 6 \cdot 7}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}\)

In het algemeen houden we zo voor P(n) dus over:

\(P(n) = \frac{2\cdot 3\cdot 3\cdot n \cdot n \cdot (n+1)}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot n \cdot (n+1) \cdot (n+2)}\)

en dit nog vereenvoudigd:

\(P(n) = \frac{3n}{n+2}\)

Voor grote n is dit ongeveer 3 (maar je hebt nu ook het exacte antwoord).

[PhilipVoets]

Het is grappig; ik vermoedde al dat tellers en noemers in het product tegen elkaar zouden gaan wegvallen tijdens invullen, dus ik zat aanvankelijk op dat spoor, maar mezelf blijkbaar misteld, want dacht dat die vlieger niet opging. Dank!