staafje

[ukster]

1 5526 keer bekeken

Dun homogeen staafje (lengte L) valt horizontaal vanaf hoogte H boven het oppervlak van de tafel, zodanig dat het staafuiteinde precies de rand van de tafel raakt. De botsing is instantaan en volledig elastisch.
Op welk tijdstip na de botsing heeft het staafje precies 1 volledige omwenteling gemaakt.
Wat is de verticale zwaartepuntpositie op dat moment.
H=70cm, L=30cm, g=10m/s²

[Marko]

Volgens ChatGPT :

Laten we het probleem stap voor stap oplossen. We zullen de tijd berekenen die het staafje nodig heeft om één volledige omwenteling te maken na de botsing en de verticale positie van het zwaartepunt op dat moment.

### 1. Impactanalyse en Rotatiesnelheid

Bij een volledig elastische botsing en met het gegeven dat de botsing instantaan en perfect elastisch is, wordt de lineaire snelheid van het uiteinde dat de tafelrand raakt, omgezet in een rotatiesnelheid.

We beginnen met de energie- en momentumbalans tijdens de botsing. Stel dat het staafje precies de rand van de tafel raakt met een snelheid \( v \) en begint te roteren om dat punt.

#### Lineaire snelheid bij de botsing:

De snelheid van het zwaartepunt op het moment van de botsing kan berekend worden met de volgende vergelijking voor de vrije val van het zwaartepunt:
\[ v = \sqrt{2 g H} \]
waarbij:
- \( g = 10 \, \text{m/s}^2 \)
- \( H = 0.70 \, \text{m} \)

\[ v = \sqrt{2 \times 10 \times 0.7} \]
\[ v = \sqrt{14} \]
\[ v \approx 3.74 \, \text{m/s} \]

#### Rotatiesnelheid (\(\omega\)) na de botsing:

Het staafje begint te roteren om het contactpunt met de rand van de tafel. We gebruiken het principe van behoud van impulsmoment om de rotatiesnelheid te vinden.

De moment of inertia (\(I\)) van een dun homogeen staafje roterend om het uiteinde is:
\[ I = \frac{1}{3} m L^2 \]

Het impulsmoment net voor de botsing (ten opzichte van het contactpunt) wordt gegeven door:
\[ L_{\text{initial}} = m v \frac{L}{2} \]

Na de botsing is dit gelijk aan de rotatie impulsmoment:
\[ I \omega = m v \frac{L}{2} \]

\[ \frac{1}{3} m L^2 \omega = m v \frac{L}{2} \]
\[ \omega = \frac{3 v}{2 L} \]

Invoegen van \( v = 3.74 \, \text{m/s} \) en \( L = 0.30 \, \text{m} \):
\[ \omega = \frac{3 \times 3.74}{2 \times 0.30} \]
\[ \omega = \frac{11.22}{0.60} \]
\[ \omega = 18.7 \, \text{rad/s} \]

### 2. Tijd voor een volledige omwenteling

De tijd \( T \) voor een volledige omwenteling ( \( 2\pi \) rad) wordt gegeven door:
\[ T = \frac{2\pi}{\omega} \]

\[ T = \frac{2\pi}{18.7} \]
\[ T \approx 0.336 \, \text{s} \]

### 3. Verticale positie van het zwaartepunt na \( T \)

Het zwaartepunt volgt een parabolisch pad door de zwaartekracht na de botsing. We gebruiken de verticale bewegingsvergelijking om de positie van het zwaartepunt te bepalen.

Initieel is de valhoogte \(H\) en op tijdstip \( t \) is de verticale positie:
\[ y(t) = H - \frac{1}{2} g t^2 \]

Invoegen van \( t = 0.336 \, \text{s} \):
\[ y(0.336) = 0.70 - \frac{1}{2} \times 10 \times (0.336)^2 \]
\[ y(0.336) = 0.70 - 5 \times 0.112896 \]
\[ y(0.336) = 0.70 - 0.56448 \]
\[ y(0.336) \approx 0.1355 \, \text{m} \]

### Conclusie

Het staafje heeft precies één volledige omwenteling gemaakt na ongeveer \(0.336\) seconden. Op dat moment bevindt het zwaartepunt zich op een verticale positie van ongeveer \(0.1355\) meter boven het oppervlak van de tafel.

[wnvl1]

Mooi Helft van de punten lijkt mij.

In stap 3 loopt het mis. De link elastisch en behoud van energie ligt nochtans voor de hand. Vreemd dat ze daar niet aan denkt.

[wnvl1]

Ik heb een keer meegegeven als extra hint om het op te lossen met behoud van energie, maar dan verliest ze het behoud van impuls uit het oog.

[Marko]

Mooi Helft van de punten lijkt mij.

In stap 3 loopt het mis. De link elastisch en behoud van energie ligt nochtans voor de hand. Vreemd dat ze daar niet aan denkt.

Dat toont maar aan dat men voorzichtig moet zijn met resultaten van ChatGPT en (dus) ook voorzichtig moet zijn om mensen met vragen daarheen te verwijzen.

[ukster]

dit zou het moeten zijn:
met betrekking tot de botsing zijn twee behoudswetten van toepassing.
v_c ,u_c ( lineaire snelheid zwaartepunt c respectievelijk vóór-en na de botsing.)

staafje 5399 keer bekeken

Benodigde tijd voor 1 omwenteling T≈0,168sec
s≈0,455m is de afstand waarover het zwaartepunt is gedaald na 1 omwenteling.

[wnvl1]

Ik heb dezelfde tijd, maar wel een andere afstand (zie s in mijn oplossing).

Het gaat eigenlijk over een halve rotatie, geen hele rotatie, maar ik veronderstel dat je dat ook bedoelt, want anders zouden we niet dezelfde tijd hebben.

Code: Selecteer alles

from sympy import *
m, L, Io, Ic, t, omega, g, H, v_voor, v_na, s = symbols('m, L, Io, Ic, t, omega, g, H, v_voor, v_na, s') 

eq0 = Eq(m, 1)
eq1 = Eq(L, 0.3)
eq2 = Eq(g, 10)
eq3 = Eq(H, 0.7)
eq4a = Eq(Io, m*L**2/3)
eq4b = Eq(Ic, m*L**2/12)
eq5 = Eq(v_voor, (2*g*H)**0.5)
eq6 = Eq(m*v_voor**2/2, m*v_na**2/2 + Ic*omega**2/2)
eq7 = Eq(Io*omega, m*L/2*v_voor)
eq8 = Eq(t, pi/omega)
eq9 = Eq(s, g*t**2/2 + v_na*t)

solve([eq0,eq1,eq2,eq3,eq4a, eq4b,eq5,eq6,eq7,eq8,eq9], dict=True)

{H: 0.700000000000000,
Ic: 0.00750000000000000,
Io: 0.0300000000000000,
L: 0.300000000000000,
g: 10.0000000000000,
m: 1.00000000000000,
omega: 18.7082869338698,
s: 0.707353018543939,
t: 0.167925190836271,
v_na: 3.37268439080802,
v_voor: 3.74165738677395}]

[ukster]

1 5303 keer bekeken

2 5303 keer bekeken

3 5303 keer bekeken