f(x)

[PhilipVoets]

Vraag: als voor een strikt stijgende functie voor alle x ∈ R geldt dat f(x+1) + f(x-1) = 5f(x)/2 en f(x+1)⋅f(x-1) = f(x)², dan is f(2017)/f(2016)?

Mijn gedachte was: 2, immers, de functie f(x) lijkt 2^x te zijn, immers: 2^(x+1) + 2^(x-1) = 5⋅2^x/2 geeft: 2^2⋅2^(x-1) + 2^(x-1) = 5⋅2^(x-1) en 2^(x+1)⋅2^(x-1) = (2^x)^2. Dus dan geldt: 2^2017/2^2016 = 2. Klopt deze redenering? En is er een andere/handigere manier om op hetzelfde antwoord uit te komen? Dank!

[Xilvo]

\(f(x+1)=\frac{f(x)^2}{f(x-1)}=\frac{5}{2} f(x)-f(x-1)\)
Delen door \(f(x)\)
\(\frac{f(x)}{f(x-1)}=\frac{5}{2} -\frac{f(x-1)}{f(x)}\)

\(\frac{f(x)}{f(x-1)}=a\)

\(a+\frac{1}{a}=\frac{5}{2}\)

Je vindt dat \(a=\frac{f(x+1)}{f(x)}=2\) of \(a=\frac{f(x+1)}{f(x)}=\frac{1}{2}\) .
Omdat het een stijgende functie moet zijn geldt alleen de eerste oplossing.

[PhilipVoets]

Thanks, helder! Ik zat al een beetje op dit spoor, maar die substitutie was me ontglipt. Antwoord klopte in ieder geval

[Bart23]

Alternatief, met de som- en productregel voor tweedegraadsvergelijkingen, weten we dat f(x-1) en f(x+1) de oplossingen zijn van

\(X^2-\frac{5}{2}f(x)X+f(x)^2=0\)

De discriminant is

\(D=\frac{25}{4}f(x)^2-4f(x)^2=\frac{9}{4}f(x)^2=(\frac{3}{2}f(x))^2\)

De oplossingen zijn

\(X=\frac{\frac{5}{2}f(x)\pm\frac{3}{2}f(x)}{2}=2f(x)\qquad\textrm{of}\qquad\frac{1}{2}f(x)\)

Als f een positieve functie is f(x+1), de grootste oplossing, gelijk aaan 2f(x). Als f negatief kan zijn, is er nog ander mogelijkheid,

\(f(x)=\frac{-1}{2^x}\)

[Xilvo]

Als f negatief kan zijn, is er nog ander mogelijkheid,

\(f(x)=\frac{-1}{2^x}\)

Die mogelijkheid had ik over het hoofd gezien.
Die "-1" mag natuurlijk elke negatieve waarde zijn.

[Bart23]

Ja, klopt, dat was maar een voorbeeld. Er zijn volgens mij oneindig veel mogelijkheden, zelfs discontinue. Ik denk dat we ze allemaal kunnen 'vangen' op volgende manier (ik geef het geval van de positieve functies, het negatieve geval kan analoog):
Neem g(x) een willekeurige strikt stijgende functie gedefinieerd in [0,1] met g(1)=2*g(0). Neem voor f:

\(f(x)=g(x-{\lfloor x\rfloor})\cdot2^{\lfloor x\rfloor}\)

Op het eerste zicht lijken de voorwaarden voldaan te zijn.