Poincaré isometrie in SRT, ART en QFT

[wnvl1]

Afsplitsing van
viewtopic.php?p=1184615#p1184615

Doel je op de groep waaronder bewegingsvergelijkingen covariant zijn v.s. de onderliggende isometrieën? B.v. hoe in de ART de metriek een tensor is onder algemene coördinatentransformaties, maar dat de isometrieën van een specifieke oplossing voor de metriek een subgroep daarvan zijn?

Dat is een begin van de vragen die ik mezelf stel. Ik probeer alvast zelf even te antwoorden.

In SRT ga je uit van een vast achtergrond die leeg is. Je werkt in een affiene ruimte (de Minkowski-ruimtetijd) om ruimtetijd te modelleren. Een affiene ruimte betekent dat je vectoren tussen twee punten die gescheiden zijn, kan definiëren. In ART werk je met een differentieerbare variëteit die slechts infinitesimaal affien is (alleen vectoren tussen punten op infinitesimale afstand van elkaar zijn toegelaten).

Het verschil tussen SRT en ART zit in het bestaan van die achtergrondstructuur. In SRT werk je met de de Minkowksi-metriek η als onveranderlijke achtergrondstructuur. De fysica in de SRT kan steeds beschreven worden op een manier die aangepast is aan deze achtergrondstructuur. Vandaar de Poincaré-groep die de isometriegroep is van de achtergrondmetriek.
Aan de andere kant is in ART de metriek g iets dynamisch dat je berekent door de Einstein veld vergelijkingen (EVV) op te lossen. De oplossingen van de EVV kunnen verschillende isometriegroepen hebben of zelfs geen (los van de triviale groep met de identieke mapping).

Het komt erop neer dat je in de ART vertrekt van iets heel algemeens dat zich dan aan elke geometrie kan aanpassen. In de SRT is de globale geometrie van tevoren bekend, en daardoor wordt het simpeler.

Op zich is het mogelijk om de SRT ook algemeen covariant te maken zoals de ART. In de SRT kan je het gebruik van de Poincaré groep als symmetriegroep in plaats van de diffeomorfismegroep zien als een gauge-fixing aan de vaste achtergrondstructuur. Omdat de achtergrondstructuur bekend is, weet je dat zo'n gauge-fixing mogelijk is. Dat laatste is niet automatische het geval in de ART.

Ik moet nog eens beter bekijken hoe het werkt in QFT, dat is mij nog niet duidelijk.

[flappelap]

Afsplitsing van
viewtopic.php?p=1184615#p1184615

Doel je op de groep waaronder bewegingsvergelijkingen covariant zijn v.s. de onderliggende isometrieën? B.v. hoe in de ART de metriek een tensor is onder algemene coördinatentransformaties, maar dat de isometrieën van een specifieke oplossing voor de metriek een subgroep daarvan zijn?

Dat is een begin van de vragen die ik mezelf stel. Ik probeer alvast zelf even te antwoorden.

In SRT ga je uit van een vast achtergrond die leeg is. Je werkt in een affiene ruimte (de Minkowski-ruimtetijd) om ruimtetijd te modelleren. Een affiene ruimte betekent dat je vectoren tussen twee punten die gescheiden zijn, kan definiëren. In ART werk je met een differentieerbare variëteit die slechts infinitesimaal affien is (alleen vectoren tussen punten op infinitesimale afstand van elkaar zijn toegelaten).

Het verschil tussen SRT en ART zit in het bestaan van die achtergrondstructuur. In SRT werk je met de de Minkowksi-metriek η als onveranderlijke achtergrondstructuur. De fysica in de SRT kan steeds beschreven worden op een manier die aangepast is aan deze achtergrondstructuur. Vandaar de Poincaré-groep die de isometriegroep is van de achtergrondmetriek.
Aan de andere kant is in ART de metriek g iets dynamisch dat je berekent door de Einstein veld vergelijkingen (EVV) op te lossen. De oplossingen van de EVV kunnen verschillende isometriegroepen hebben of zelfs geen (los van de triviale groep met de identieke mapping).

Het komt erop neer dat je in de ART vertrekt van iets heel algemeens dat zich dan aan elke geometrie kan aanpassen. In de SRT is de globale geometrie van tevoren bekend, en daardoor wordt het simpeler.

Op zich is het mogelijk om de SRT ook algemeen covariant te maken zoals de ART. In de SRT kan je het gebruik van de Poincaré groep als symmetriegroep in plaats van de diffeomorfismegroep zien als een gauge-fixing aan de vaste achtergrondstructuur. Omdat de achtergrondstructuur bekend is, weet je dat zo'n gauge-fixing mogelijk is. Dat laatste is niet automatisch het geval in de ART.

Ik moet nog eens beter bekijken hoe het werkt in QFT, dat is mij nog niet duidelijk.

In de ART, met de Einsteinvergelijkingen waarbij de kosmologische constante nul is, kun je altijd coördinaten gauge-fixen zodat de ruimtetijd er lokaal als Minkowski uitziet. Het equivalentieprincipe garandeert dit. Maar je kunt dit dus alleen lokaal doen, in tegenstelling tot de SRT waar je dit globaal kunt doen. Je kunt zelfs Newtons zwaartekrachtstheorie algemeen covariant maken, een formalisme dat bekend staat als "Newton-Cartan" (en waarop ik gepromoveerd ben). Maar als je begrijpt hoe het in de SRT werkt, dan begrijp je het toch ook voor QFT? Ook daar wordt de metrische structuur als gegeven verondersteld en is dus een "vaste achtergrond". Maar ik moet je bekennen dat ik deze aspecten ook altijd lastig vind.

Eén manier om ernaar te kijken is dat de metriek in de ART als dynamisch veld de oorspronkelijke diffeomorfismen van de Einsteinvergelijkingen breekt. De vacüumvergelijking, oftewel de Minkowski-metriek (wanneer de kosmologische constante nul is), breekt deze diffeomorfismen naar de Poincaré-groep. Op dezelfde manier verbreekt de vacuümoplossing van het Higgsveld de ijksymmetrieën van het standaardmodel.

[wnvl1]

In QFT is de insteek dan dat de Lagrangiaan Poincaré invariant is.
Dat loopt dan parallel met de Lagrangiaan uit de SRT die

$$L =-\frac{ m c^2}{\gamma}$$

Poincaré invariant is.

[flappelap]

Ja. Je gebruikt velden die in representaties van de Lorentzgroep zitten, waarmee je een scalair bouwt. Dat garandeert dat de bijbehorende bewegingsvergelijkingen als een tensor of spinor transformeren en dus voor alle inertiaalwaarnemers dezelfde vorm hebben.

[wnvl1]

Klopt het dat in QFT de Poincaré invariantie iets zegt over hoe de bouwblokken, de soorten van velden die gebruikt worden om de werkelijkheid te beschrijven, transformeren. Maar dat de Poincaré invariantie niets zegt over een specifieke oplossing.

[flappelap]

Een oplossing van wat?

[wnvl1]

Uiteindelijk zijn de velden die eruikomen oplossingen van de Euler Lagrange veldvergelijkingen. De Lagrangiaan is Poincaré invariant, maar de oplossingen ook?

[flappelap]

Nee, in het algemeen niet; de oplossingen transformeren zoals de representatie van het onderliggende veld voorschrijft. Alleen voor een scalair veld f(x) geldt dat f'(x')=f(x).

[flappelap]

Uiteindelijk zijn de velden die eruikomen oplossingen van de Euler Lagrange veldvergelijkingen. De Lagrangiaan is Poincaré invariant, maar de oplossingen ook?

Laat ik hier nog een simpel voorbeeld van geven in het niet-relativistische geval: stel dat je een puntdeeltje koppelt aan een Newtons zwaartekrachtsveld en hiervoor de actie opschrijft. Die actie is invariant onder rotaties, SO(3). De bijbehorende vergelijken staan als oplossen het zwaartekrachtsveld van een bolsymmetrische massa zoals de aarde toe waarnaar het deeltje valt. Nu is er een voorkeursrichting en wordt de actie SO(3) gebroken (in dit geval naar SO(2)).

Dit thema, dat oplossingen symmetrieën verbreken van de desbetreffende vergelijkingen, speelt een belangrijke rol in b.v. het higgsmechanisme, supergeleiding en plasma-frequenties en wordt daar "spontane symmetriebreking" genoemd.

[wnvl1]

Dat is duidelijk. Danku voor de extra toelichting.