Oneindige som

[Bart23]

Nee, je maakt een oneindig kleine fout, want de 2-adische afstand van 0 tot 2^(m+1) is 1/2^(m+1).
Het is wel even wennen, die 2-adische getallen;-)

[HansH]

De som is oneindig ipv -1. dan is het verschil tussen die 2 toch een oneindig grote fout? dat is in ieder geval wat ik met 'oneindig grote fout' bedoel

[HansH]

Nee, je maakt een oneindig kleine fout, want de 2-adische afstand van 0 tot 2^(m+1) is 1/2^(m+1).
Het is wel even wennen, die 2-adische getallen;-)

waarschijnlijk heb jij het over err(m) en ik had het over S(m) als oplossing van de som

[Bart23]

Nee, ik heb het zeker niet over err(m).
Het gaat (in jouw notatie) over de afstand tussen -1 en S(m)=1+2+4+...+2^m=2^(m+1)-1
Hoe kleiner die afstand, hoe dichter de 2 getallen bij elkaar liggen. Dichter in de 2-adische betekenis, dit is belangrijk.
Deze afstand vinden we door te kijken naar de hoogste macht van 2 die het verschil deelt. Het verschil is uiteraard 2^(m+1). De hoogste macht is m+1 en de afstand is dan per definitie van 2-adische afstand gelijk aan 1/2^(m+1).
Hoe groter m, hoe kleiner deze afstand, dus nadert S(m) naar -1 als m naar oneindig gaat.

Je moet proberen te beseffen dat "grote getallen" in de 'normale' wereld soms kleine getallen zijn in de 2-adische wereld. Bijvoorbeeld ligt 1024 maar op een afstand van 1/1024 van 0, maar 0,5 ligt op een afstand van 2 van 0. Elk natuurlijk getal ligt op afstand maximum 1 van 0, dus een schijf met straal 1 bevat alle natuurlijke getallen!

[HansH]

Nee, ik heb het zeker niet over err(m).
Het gaat (in jouw notatie) over de afstand tussen -1 en S(m)=1+2+4+...+2^m=2^(m+1)-1
Hoe kleiner die afstand, hoe dichter de 2 getallen bij elkaar liggen.

ok, maar wat voegt dat toe aan de conclusie dat de oorspronkelijke gedachte niet klopt en de reden waarom het niet klopt? De reden waarom het niet klopt had ik laten zien. Ben je het daar mee eens?

[HansH]

S(m)=1+2+4+...+2^m=2^(m+1)-1
dus nadert S(m) naar -1 als m naar oneindig gaat.

als m naar oneindig gaat dan gaat S(m)= 2^(m+1)-1 naar 2^ oneindig-1= oneindig toch?

[Bart23]

Neen.
Wat betekent volgens jou 2^(m+1) -1 gaat naar oneindig? Ik bedoel PRECIES, niet intuïtief.

[Bart23]

Wat is oneindig of 'naderen naar oneindig' eigenlijk in deze nieuwe getallenverzameling? Ongetwijfeld heb je om dit te definiëren de relatie "<" nodig. Maar is "<" wel ok hier? Maw is deze < nog wel compatibel met de optelling en de vermenigvuldiging? Dwz als a<b dan ook a+c<b+c en als a>0 en b>0, dan ook a.b>0? Helaas niet!
Als je het liever intuïtief wil begrijpen is deze video nog wel een goede instap.

[HansH]

Neen.
Wat betekent volgens jou 2^(m+1) -1 gaat naar oneindig? Ik bedoel PRECIES, niet intuïtief.

dit betekent het

oneindig 396 keer bekeken

[Bart23]

Ik kan hier nergens het concept oneindig of 'naderen naar oneindig' in bespeuren, dat dat zal het zeker niet zijn. Ik zie alleen een eindig interval, een formule voor de m-de partiële som en een stukje grafiek van s(m) over dat eindig interval. Ik vroeg een precieze definitie van de uitspraak "s(m) gaat naar oneindig als m naar oneindig gaat."

[HansH]

Ik vroeg een precieze definitie van de uitspraak "s(m) gaat naar oneindig als m naar oneindig gaat."

Dat lijkt me duidelijk blijken uit het grafiekje. Ik kan m zo groot maken als ik wil en het verband blijft dan op dezelfde manier verder toenemen.
wordt een beetje offtopic zo te zien.

[Bart23]

Ik mag besluiten dat je eigenlijk totaal niets begrijpt over limieten en ook niet de moeite wil doen om iets ernstig bij te leren of op te zoeken. Ik heb nogal wat moeite gedaan om je denkfout proberen te doen inzien door naar de kern van de zaak te gaan. Nu we bij de kern zijn, vind jij het plots offtopic.
OK, als jij liever in cafépraatmodus wat wil ouwehoeren over oneindig en limieten, mij best, maar dit is een wiskundeforum.
Fijne dag verder

[HansH]

Ik mag besluiten dat je eigenlijk totaal niets begrijpt over limieten

Ik denk niet dat je dat mag concluderen. Vroeger op het VWO en daarna uitgebreid gehad en getoetst (maar wel weer een tijd geleden). Dus ik denk dat het probleem eerder is dat we niet op dezelfde golflengte communiceren. De dingen die ik aan jou vraag om het helder te krijgen geeft je geen antwoord op en waar jij naartoe wil en waarom is mij niet helder. Ik denk te begrijpen waarom het sommetje van de TS niet klopt en heb dat duidelijk toegelicht. Misschien helpt het als iemand anders buiten ons aangeeft wat die ervan denkt.

[HansH]

nog wel een goede instap.

uit de video begrijp ik dat je 1+2+4+8+............... gaat omzetten naar het 2 tallig stelsel en dat gaat optellen. dat geeft een binair getal bestaande uit een oneindige hoeveelheid enen. als je er daarna nog 1 bij telt dan krijg je een oneindige hoeveelheid nullen omdat er steeds een carry is die tot in het oneindige wordt doorgegeven. dus het lijkt net alsof het getal kleiner wordt terwijl je er juist 1 bij optelt omdat je meest significante bit nooit kunt zien. Maar dat maakt het probleem van de TS niet anders volgens mij.

[HansH]

Omdat de reden r>1 divergeert de reeks, d.w.z. de som S gaat naar oneindig.
Het is dan niet correct om algebraïsche bewerkingen toe te passen zoals je zou doen met een convergente som.

precies dat.
het bewijs komt erop neer dat de aanname S=1+2S ==>S=-1 er in feite op neer komt dat je steeds de laatste term van de som tussen haakjes onterecht extra rbij neemt, hier met grondtal 2.
in het algemeen voor grondtal a krijg je dan een som =1/(1-a) en die convergeert naar een waarde voor a<1
dat komt omddat het laatste getal wat er onterecht bijkomt a^n is met n gaat naar oneindig.
dus als a>1 is dan gaat de som naar oneindig en als a<1 is dan gaat de som naar 0 dus dan maak je een fout van 0 op de aanname.
als a =1 dan gaat de som naar een getal wat 1 groter is dan de som zonder die laatste term. dus dan maak je een fout van 1.
dus daarom mag je die aanmane 1/(1-a) alleen gebruiken als n<1 omdat de fout die je dan maakt naar 0 gaat.