Behoud van impulsmoment en energie

[flappelap]

ok, maar even praktisch: de potentiele energie van de vallende steen wordt volledig omgezet in warmte die warmte energie is er dus en kun je niet omheen. kun je zo'n soortgelijke redenatie houden in de ART zodat de warmte energie niet ineens uit het niets ontstaat?

Ja. Daarvoor moet je radiële beweging bekijken in een Schwarzschild achtergrond en de geodetenvergelijking opstellen. In deze geodetenvergelijking voor de radiële coördinaat r komt dan een term voor die je als "potentiele energie" kunt interpreteren. Energie voor het vallende voorwerp is in dit geval behouden omdat er een tijdachtige Killing-vector is: de Schwarzschild metriek hangt niet van de tijd, dus zal volgens Noether energie behouden zijn.

[flappelap]

Ik begreep dat er in de ART niet zoiets is als behoud van energie.

Jawel, dat is er zeker wel, maar of de energie van een testdeeltje behouden is hangt af van de ruimtetijdachtergrond (de metriek) waarin het zich bevindt.

[wnvl1]

Je hebt het dan over de 'Effective radial potential energy' zoals die uitgelegd staat in de wiki pagina over de Schwarzschild geodeten.

'https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics'

Dat is het soort van beschouwingen dat gebruikt wordt om de periheliumverschuiving van Mercurius te berekenen.

[wnvl1]

Energie voor het vallende voorwerp is in dit geval behouden omdat er een tijdachtige Killing-vector is: de Schwarzschild metriek hangt niet van de tijd, dus zal volgens Noether energie behouden zijn.

Dat behoud van energie correspondeert met een invariantie in functie van de tijd is mij duidelijk. Maar kan deze energie omgezet worden naar andere soorten van energie? Zoals warmte of elektrische energie. Dat is mij niet duidelijk in de context van de ART.

Spreken in termen van Killing vectoren voelt in deze context voor mij logischer aan dan spreken in termen van energie zoals we dat kennen in de klassieke fysica.

[flappelap]

Energie voor het vallende voorwerp is in dit geval behouden omdat er een tijdachtige Killing-vector is: de Schwarzschild metriek hangt niet van de tijd, dus zal volgens Noether energie behouden zijn.

Dat behoud van energie correspondeert met een invariantie in functie van de tijd is mij duidelijk. Maar kan deze energie omgezet worden naar andere soorten van energie? Zoals warmte of elektrische energie. Dat is mij niet duidelijk in de context van de ART.

Ja, ik zou niet weten waarom niet. Ik heb de hele berekening niet expliciet gedaan, maar uiteindelijk is het p_0 die in de geodetenvergelijking voor de radiële coördinaat de energie levert die wordt omgezet in warmte wanneer het voorwerp de grond raakt.

Dat zou misschien nog wel eens leuk zijn, om vrije valbeweging zowel in Newtons theorie als de ART te beschrijven en te kijken wat de precieze overeenkomsten en verschillen zijn, ook conceptueel. Dat zal vast wel eens ergens gedaan zijn.

[HansH]

voor roterende massa's krijg je ''frame dragging'' ik neem aan dat je dat bedoelt met de situatie waarbij de energie van het deeltje niet behouden blijft. het deeltje gaat dan meebewegen met de rotatie en krijgt zo een extra hoeveelheid energie mee. Dat is elders voorgesteld als een methode om raketten veel meer snelheid te geven door even langs een roterend zwart gat te vliegen en dan weer er vandaan.
Maar dan vraag ik mij af of dan de som van de energie van het zwarte gat en het deeltje samen wel behouden blijft. met andere woorden is het zo dat het zwarte gat dan even veel energie kwijt raakt als het deeltje erbij krijgt samen met evt energie in gravitatie golven die daar dan vanaf gaat om de som van alle energie hetzelfde te houden??

[wnvl1]

Maar dan vraag ik mij af of dan de som van de energie van het zwarte gat en het deeltje samen wel behouden blijft. met andere woorden is het zo dat het zwarte gat dan even veel energie kwijt raakt als het deeltje erbij krijgt samen met evt energie in gravitatie golven die daar dan vanaf gaat om de som van alle energie hetzelfde te houden??

Ik ben daar voorlopig niet van overtuigd dat het in zo een geval van behoud van energie kan spreken op globaal niveau. Mochten er referenties over bestaan dan lees ik ze graag.

Je gaat in elk geval een analyse moeten maken waarin het veld gegenereerd door de voorbij vliegende massa (raket) de Kerr metriek van het roterende zwarte gat ook beïnvloed. Dat is iets wat in de beschouwingen hierboven ook over het hoofd is gezien. Je kan eigenlijk niet stellen in het verhaal van de steen en de aarde dat de Schwarschild metriek gegenereerd door de aarde tijdsinvariant is. De vallende steen beïnvloedt de metriek en dat is een effect dat niet-lineair is. In de ART kan je niet zomaar velden lineair optellen. Je gaat dus een metriek hebben die niet tijdsinvariant is.

[HansH]

De vallende steen beïnvloedt de metriek en dat is een effect dat niet-lineair is. In de ART kan je niet zomaar velden lineair optellen. Je gaat dus een metriek hebben die niet tijdsinvariant is.

zeg je dan eigenlijk dat het niet meer goed uit te rekenen is dus lastig om nog iets te bewijzen over behoud van energie in totaal? eigenlijk zou ik het omgekeerde verwachten: behoud van energie is een algemene natuurwet, dus is daar bij de afleiding van de ART rekening mee gehouden zodat de formules om die reden zijn zoals ze zijn.

[wnvl1]

Een gevolg van de translatie- en rotatie-invariantie van de ART is het lokaal behoud van de energie-impuls-tensor. De divergentie is nul. Daarin is echter gravitationele potentiële energie niet meegerekend. Je maakt dan wel abstractie van de kosmologische constante.

Een mooi en niet te moeilijk overzichtsartikel van John Maddox in Nature is hier te vinden

https://www.nature.com/articles/314129a0.pdf

Het artikel is wel al bijna 40 jaar oud. Conclusie is daar dat in het geval van een symmetrische ruimte er wel iets te zeggen valt over een gravitationele potentiaal.

[wnvl1]

Wat ik mij ook afvraag is als je behoud van energie bij een vallende steen die warmte genereert als hij op de grond valt, wil toepassen is hoe het zit met het concept temperatuur in de ART. Dat is niet zo voor de hand liggend, kijk maar eens op

https://physics.stackexchange.com/quest ... relativity

een andere vergelijkbare topics op andere fora.

[HansH]

hoe het zit met het concept temperatuur in de ART. Dat is niet zo voor de hand liggend, kijk maar eens op

Waarschijnlijk is dan de consequentie dat warmtestraling (dus energie) de neiging heeft zich te concentreren naar een omgeving met de hoogste massadichtheid. maar dat zegt natuurlijk nog niets over het al of niet verloren gaan of bijkomen van energie in totaal.

[HansH]

Conclusie is daar dat in het geval van een symmetrische ruimte er wel iets te zeggen valt over een gravitationele potentiaal.

Het punt is denk ik dat roterende massa's ook frame dragging geven, dus dat betekent dat je nooit puur kunt spreken van potentiele energie, maar ook bezig bent om potentiele energie en kinetische energie uit te wisselen. Dus ik kan me voorstellen dat in dat opzicht het begrip 'potentiele energie' vaag wordt, maar er moet dan toch iets zijn waarin je de totale energie kunt uitdrukken, immers waarom vormt de energy momentum tensor anders een centraal object in de ART?

[wnvl1]

hoe het zit met het concept temperatuur in de ART. Dat is niet zo voor de hand liggend, kijk maar eens op

Waarschijnlijk is dan de consequentie dat warmtestraling (dus energie) de neiging heeft zich te concentreren naar een omgeving met de hoogste massadichtheid. maar dat zegt natuurlijk nog niets over het al of niet verloren gaan of bijkomen van energie in totaal.

Warmte straling is elektromagnetische (EM) straling. EM straling wordt afgebogen door de kromming van de tijdruimte net zoals een bewegende massa wordt afgebogen door de kromming van de tijdruimte. In een zwart gat kan EM straling zich gaan concentreren, maar in het algemeen denk ik dat EM zich niet al te fel gaat concentreren in ons universum. De warmte van de zon wordt in alle richtingen gestuurd.

[wnvl1]

Dus ik kan me voorstellen dat in dat opzicht het begrip 'potentiele energie' vaag wordt, maar er moet dan toch iets zijn waarin je de totale energie kunt uitdrukken, immers waarom vormt de energy momentum tensor anders een centraal object in de ART?

Op wikipedia vind je dit plaatje met wat er allemaal vervat zit in de impuls energie tensor.

De energie-impuls tensor is een tensor omdat de waarde van de verschillende componnenten verandert bij een coördinatentransformatie. De eigenschappen blijven wel dezelfde van deze tensor blijven wel dezelfde in verschillende referentieframes. Een van deze eigenschappen is hoe de energie-impulstensor de kromming van de ruimte tijd bepaalt. Verschillende waarnemer gaan een verschillende energie dichtheid, impulsdichtheid etc meten, maar door te werken met de tensor in zijn geheel krijgen we een beschrijving van de natuur die voor iedereen hetzelfde is.

[wnvl1]

Het punt is denk ik dat roterende massa's ook frame dragging geven, dus dat betekent dat je nooit puur kunt spreken van potentiele energie, maar ook bezig bent om potentiele energie en kinetische energie uit te wisselen.

Bij roterende massa's werk je met de Kerr metriek. In tegenstelling tot de Schwarschild metriek is die niet statisch, maar wel stationair. In de metriek vindt je een component \(d\phi dt\). Dat maakt dat de tijdachtige Killingvector niet loodrecht staat op ruimtelijke hyperoppervlakken. Dat geeft dat doordraaiend effect van de ruimte tijd.

Ik blijf het moeilijk vinden om daarover na te denken in termen van potentiële energie en kinetische energie, misschien dat anderen dat wel kunnen.