zwaartekrachtveld

[ukster]

Gegeven een punt P in de ruimte en een stuk kneedbaar materiaal (initieel een bol) met uniforme dichtheid.
Hoe kun je dit materiaal vormgeven en plaatsen om het grootst mogelijke zwaartekrachtveld in de x-richting bij P te creëren?

Het cruciale inzicht hierbij is dat alle kleine massa-elementen dm op het oppervlak van het materiaal een gelijke bijdrage moeten leveren aan de x-component van het veld bij P. Als dit niet het geval zou zijn, zou je eenvoudig een klein stukje van het materiaal van het ene punt op het oppervlak naar een ander kunnen verplaatsen, waardoor het veld bij P zou toenemen. Dit zou echter in tegenspraak zijn met de aanname dat het veld bij P al maximaal is.

[ukster]

Niet wordt bedoeld de configuratie in de conclusie van chatgpt op deze vraag.

[HansH]

ik denk een halve bol met p in het centrum van de denkbeeldige complete bol waar de halve bol dan net in past. omdat de zwaartekracht toeneemt als je een deeltje kunt verplaatsen naar een kleinere afstand van punt p kun daarmee de zwaartekracht nog laten toenemen. bij een halve bol kan dat niet meer en verplaatsen naar de andere kant van de halve bol zou het veld ook weer verkleinen.

[ukster]

ik bedoel eigenlijk de deformatie van de bolvorm (uiteraard met hetzelfde Volume) waarbij de afstand P tot x=0 hetzelfde blijft.

vaste afstand P tot x=0 8765 keer bekeken

[wnvl1]

ik denk een halve bol met p in het centrum van de denkbeeldige complete bol waar de halve bol dan net in past. omdat de zwaartekracht toeneemt als je een deeltje kunt verplaatsen naar een kleinere afstand van punt p kun daarmee de zwaartekracht nog laten toenemen. bij een halve bol kan dat niet meer en verplaatsen naar de andere kant van de halve bol zou het veld ook weer verkleinen.

Dat klopt niet, want het materiaal in de noord- en zuidpool gaat niets bijdragen aan het veld in de X-richting.

[wnvl1]

ik bedoel eigenlijk de deformatie van de bolvorm (uiteraard met hetzelfde Volume) waarbij de afstand P tot x=0 hetzelfde blijft.
vaste afstand P tot x=0.png

Dat is vaag geformuleerd. Je bedoelt dat de afstand van het punt tot het dichtsbijzijnde punt van de vervormde bol niet mag veranderen?

[ukster]

Ja
Dus de linker grens van de gewijzigde materiaalvorm gaat door x=0

[Xilvo]

Leuke vraag. Misschien iets van een kegelvorm met P aan de top.

[ukster]

Met een niet al te ingewikkelde berekening kan de bedoelde materiaalvorm uit de perfecte bolvorm worden afgeleid en wijkt hiervan niet zo heel veel af. Evident is dat de gewenste vorm cilindrische symmetrie heeft rond de x-as

[HansH]

Dat klopt niet, want het materiaal in de noord- en zuidpool gaat niets bijdragen aan het veld in de X-richting.

ja klopt. dus het wordt een meer gewogen functie waarbij meer massa weg moet vanuit de ij richting in de x richting zonder de afstand in x richting veel te vergroten.

[wnvl1]

Leuke vraag. Misschien iets van een kegelvorm met P aan de top.

Zal zeker geen kegel zijn met een platte achterkant. Dat gaat afgerond moeten zijn.

[wnvl1]

https://physics.stackexchange.com/quest ... al-gravity

Dit is een gelijkaardig probleem, helaas werkt de link naar de website van Yakov Kantor niet meer.

[Xilvo]

https://physics.stackexchange.com/quest ... al-gravity

Dit is een gelijkaardig probleem, helaas werkt de link naar de website van Yakov Kantor niet meer.

Het lijkt me leuker om het zelf te proberen.

[wnvl1]

De integraal opstellen voor dit variationeel probleem moet wel zelf kunnen. Oplossen wordt lastig.

[HansH]

ik zat even na te denken over het volgende idee
als je de formule opschrijft voor de zwaartekracht op een deeltje dan komt daarin een factor cos(alpha) voor de hoek met de x as. Je kunt daarmee dan een pad definieren waarover je een deeltje kunt verplaatsen zodat de x component van de zwaartekracht gelijk blijft.
dan krijg je curves in bijgaand plaatje.
kleinere curves betekent meer zwaartekracht omdat het deeltje dan dichterbij punt p in de oorsprong zit. in dat plaatje staat ook de oorspronkelijke vorm van de bol. nu kun je dus punten van de bol gaan verplaatsen om meer zwaartekracht te krijgen. dat betekent dus een deel van de punten van de bol naar binnen duwen van bv paarse naar groene curve en een ander deel naar buiten duwen. uiteindelijk moet je dan op een volume komen wat past bij een van de curves met gelijk volume van de bol. als je dat lukt dan kun je punten langs de curve verschuiven, maar heeft dan geen effect meer op de zwaartekracht dus dat is dan het maximum.
dus de cirve die je krijgt heeft denk ik dan de vorm x= cos(alpha)^1.5 en y=wortel(cos(aplha)).sin(alpha)