zwaartekrachtveld

[HansH]

Als P niet in de oorsprong ligt maar op een positie x=-p terwijl alle massa rechts van x=0 moet liggen, dan levert dat dezelfde situatie op als wanneer P wel in de oorsprong ligt terwijl de massa niet links van x=p mag liggen.
Mijn redenatie verandert niet maar een deel van de massapunten, links van x=p, mogen niet meedoen.
Dan zou je een dergelijke vorm krijgen:
zwaartekracht2.png
Als p heel groot is houd je een dunne lensvormige schijf over.

ik snap niets van wat je hier zegt. wat bedel je met 'zelfde situatie' en wat heeft x=p met x=-p te maken?

[wnvl1]

Bij jou is h wat ik p noem. Maar wat bedoel je met \(\lambda\)?

\(\lambda\) is mijn Lagrange multiplicator.

https://nl.wikipedia.org/wiki/Lagrange-multiplicator

Lagrange multiplicatoren kan je toepassen in Euler-Lagrange in de variatierekening om te verrekenen dat het totale volume constant moet blijven. (Zo heeft Lagrange op 2 manieren verdienste aan deze oplossingsmethode.)

Op zich speelt de waarde niet veel rol. Het is gewoon een constante. Ik denk dat je er hier wel een fysische betekenis aan kan geven, de toename (of is het afname) van de veldsterkte wanneer het volume met 1 eenheid toeneemt. Economisten gaan Lagrange multiplicatoren graag op die manier interpreteren bij maximalisatieproblemen met beperkingen, maar dat maakt hier niet zo veel uit. Ik ben ook niet zo zeker van die interpretatie in geval van een Eular-Lagrange probleem.

[Xilvo]

ik snap niets van wat je hier zegt. wat bedel je met 'zelfde situatie' en wat heeft x=p met x=-p te maken?

Het lijkt mij duidelijk. Ik zou niet weten hoe ik het nog duidelijker zou kunnen opschrijven.

[Xilvo]

Lagrange multiplicatoren kan je toepassen in Euler-Lagrange in de variatierekening om te verrekenen dat het totale volume constant moet blijven. (Zo heeft Lagrange op 2 manieren verdienste aan deze oplossingsmethode.)

Speelt het bij jou de rol van een schaalfactor zoals bij mij de waarde van de constante voor \(\frac{x}{d^3}\)?

[wnvl1]

Ja. Jij vertrekt eerder vanuit een relatie op een positie x. Ik vertrek eerder vanuit de volledige integraal.
Euler-Lagrange legt een verband tussen beiden.
Voor mij een van de mooiere stukken wiskunde die ik ooit geleerd heb.

[Xilvo]

Ja. Jij vertrekt eerder vanuit een relatie op een positie x. Ik vertrek eerder vanuit de volledige integraal.
Euler-Lagrange legt een verband tussen beiden.
Voor mij een van de mooiere stukken wiskunde die ik ooit geleerd heb.

Maar Is het hier een handige methode? The proof of the pudding...

Heeft het overeenkomsten met de Euler-Lagrange methode voor mechanische systemen? Waarschijnlijk wel, maar ik zie die nog niet.

[HansH]

ik snap niets van wat je hier zegt. wat bedel je met 'zelfde situatie' en wat heeft x=p met x=-p te maken?

Het lijkt mij duidelijk. Ik zou niet weten hoe ik het nog duidelijker zou kunnen opschrijven.

De zelfde situatie zou voor mij betekenen: 'dezelfde uitkomst' maar als je punt p op een andere afstand legt van het volume dan krijgt elk stukje dm een andere afstand tot p als functie van de y coordinaat van dm dus moet je een andere optimale vorm krijgen, dus andere situatie.

[Xilvo]

De zelfde situatie zou voor mij betekenen: 'dezelfde uitkomst' maar als je punt p op een andere afstand legt van het volume dan krijgt elk stukje dm een andere afstand tot p als functie van de y coordinaat van dm dus moet je een andere optimale vorm krijgen, dus andere situatie.

Het is exact dezelfde situatie alleen over een afstand p naar rechts verschoven. Lees het nog eens zorgvuldig, het staat er duidelijk.

[HansH]

als de vorm verder van p afligt dan moet je een andere vorm krijgen.

in het onderste geval ligt p een stuk links van de oorsprong en heeft de y coordinaat van dm dus minder invloed op de horizontale component van de zwaartekracht Fx dus de vorm zal deels helemaal tegen het minimum toelaatbare aanliggen (x=0) en pas boven een bepaalde y waarde komen er punten rechts van x=0. nu is dus de vraag hoe de vorm eruit ziet als functie van de afstand waarmee p1 naar links van de oorsprong is verschoven.

[HansH]

Het is exact dezelfde situatie alleen over een afstand p naar rechts verschoven. Lees het nog eens zorgvuldig, het staat er duidelijk.

ik weet niet welke situatie je in je hoofd hebt als p links van 0 ligt. is dat hetzelfde als wat ik hierboven weergegeven heb?
de vervormde bol ligt dan rechts tegen x=0 aan met minimaal 1 punt.

[Xilvo]

nu is dus de vraag hoe de vorm eruit ziet als functie van de afstand waarmee p1 naar links van de oorsprong is verschoven.

Je houdt simpelweg een deel van de oorspronkelijke vorm over rechts van een vlak loodrecht op de x-as.
In jouw onderste tekening is dat het allerlaatste stukje (meest rechtse deel) van wat je erboven tekent.
Uiteraard opgeschaald want het volume moet gelijk blijven.

[Xilvo]

Het is exact dezelfde situatie alleen over een afstand p naar rechts verschoven. Lees het nog eens zorgvuldig, het staat er duidelijk.

ik weet niet welke situatie je in je hoofd hebt als p links van 0 ligt.

In beide gevallen bijvoorbeeld wat in jouw onderste tekening staat.
In het ene geval zoals je tekent, in het tweede geval staat P in de oorsprong en ligt het linkervlak van het voorwerp niet op x=0 maar op x=p. Zoals ik, naar mijn bescheiden mening, zeer duidelijk opschreef.

[HansH]

Je houdt simpelweg een deel van de oorspronkelijke vorm over rechts van een vlak loodrecht op de x-as.
In jouw onderste tekening is dat het allerlaatste stukje (meest rechtse deel) van wat je erboven tekent.
Uiteraard opgeschaald want het volume moet gelijk blijven.

Ik denk dat je gelijk hebt. want de vorm is alleen afhankelijk van de afstand tot p omdat het gaat om de hoek en de afstand. Het gekke was dat ik dat eigenlijk al in mijn aangepaste berekening had zitten, maar ik vond het gek dat de formules en dus de vorm gelijk bleven.

[HansH]

Ik kan je redenering niet zo goed volgen. Kan je ze nog eens opnieuw plaatsen in een nieuwe post vanaf nul. Dan kijk ik nog eens.

kijk ik vanavond even naar op een rustig moment. maar het idee is:
-gebruik de basisformule voor zwaartekracht tov punt p en bereken de formule(s) voor het pad wat een massadeeltje dm kan volgen zonder de resuterene zwaartekracht te veranderen. dus afstand^2 en cos(alpha) ivm de x richting
-bereken het volume van de omwentelingsfiguur rond de x as van die vorm en schaal de afmetingen zodanig dat het volume gelijk blijft aan dat van de initiele bol. (gemeenschappelijk linker punt van bol en omwentelingsfiguur)

hier een wat betere beschrijving van de stappen die ik doe.

[wnvl1]

Maar Is het hier een handige methode? The proof of the pudding...

Heeft het overeenkomsten met de Euler-Lagrange methode voor mechanische systemen? Waarschijnlijk wel, maar ik zie die nog niet.

Het is inderdaad hetzelfde principe van Euler-Lagrange bij mechanische systemen.

Bij mechanische systemen ga je op zoek naar een L die de actie S minimaal (eigenlijk stationair) maakt

$$S = \int^{t_2}_{t_1} L(x,\dot{x}) dt $$

L is de Lagrangiaan en is gelijk aan het verschil tussen de kinetische energie T en de potentiële energie V.
L levert in de mechanica een minimale S op als voldaan wordt aan de vergelijking

$$\frac{\partial L }{\partial x} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L }{\partial \dot{x}} = 0$$

Op deze manier kan je de wetten van Newton afleiden. Deze aanpak wordt bij uitbreiding gevolgd in de hele fundamentele natuurkunde.


In de oefening van ukster moeten we

$$2\pi G\rho \int_0^t \biggl(1-\frac{h+x}{\sqrt{R^2(x)+(h+x)^2}}\biggr)dx$$

maximaliseren. In vergelijking met het mechanisch equivalent is er nu een extra randvoorwaarde. Het volume ligt vast. Daarom voegen we via de Lagrange multiplicator nog het volume toe om dit in rekenschap te brengen. Dit leidt tot de integraal

$$\int_0^t 2\pi G\rho \biggl(1-\frac{h+x}{\sqrt{R^2(x)+(h+x)^2}}\biggr) + \lambda\pi R^2(x) dx - \lambda V$$

de gemaximaliseerd moet worden. Toepassen van Euler-Lagrange leidde mooi tot de oplossing. De integrand was in dit geval niet afhankelijk van de afgeleide van R(x) naar x wat de Euler Lagrange vergelijking simpeler maakte.