zwaartekrachtveld

[HansH]

In de oefening van ukster moeten we

$$2\pi G\rho \int_0^t \biggl(1-\frac{h+x}{\sqrt{R^2(x)+(h+x)^2}}\biggr)dx$$

maximaliseren. In vergelijking met het mechanisch equivalent is er nu een extra randvoorwaarde. Het volume ligt vast. Daarom voegen we via de Lagrange multiplicator nog het volume toe om dit in rekenschap te brengen. Dit leidt tot de integraal

$$\int_0^t 2\pi G\rho \biggl(1-\frac{h+x}{\sqrt{R^2(x)+(h+x)^2}}\biggr) + \lambda\pi R^2(x) dx - \lambda V$$

de gemaximaliseerd moet worden. Toepassen van Euler-Lagrange leidde mooi tot de oplossing. De integrand was in dit geval niet afhankelijk van de afgeleide van R(x) naar x wat de Euler Lagrange vergelijking simpeler maakte.

Maar stel even dat mijn methode klopt, dan komt daar eenduidig een simpele formule uit. Dus dan zou diezelfde formule ook uit jouw oplossing moeten komen.

[wnvl1]

In de mechanica kan je problemen oplossen met de tweede wet van Newton en met Lagrange, beiden leiden tot dezelfde oplossing. Je kan de parallel trekken naar dit raadsel. Je kan dit raadsel oplossen op de manier van wnvl1 en op de manier van xilvo/hansh, beiden leiden tot dezelfde oplossing.

Ik heb jouw methode gelezen, ik denk dat ze op zich wel klopt. Kom je finaal ook uit op exact dezelfde oplossing als xilvo of is er nog iets fout?

[HansH]

Als P niet in de oorsprong ligt maar op een positie x=-p terwijl alle massa rechts van x=0 moet liggen, dan levert dat dezelfde situatie op als wanneer P wel in de oorsprong ligt terwijl de massa niet links van x=p mag liggen.
Mijn redenatie verandert niet maar een deel van de massapunten, links van x=p, mogen niet meedoen.
Dan zou je een dergelijke vorm krijgen:
zwaartekracht2.png
Als p heel groot is houd je een dunne lensvormige schijf over.

Ik snap nu pas wat je zegt. Dat komt omdat jij een coordinaten transformatie hebt uitgevoerd tov het oorspronkelijke plaatje van ukster door punt p en de curve te verschuiven van x=-p naar x=0 wat ik even gemist had.

Samen met het feit dat ik nog niet door had dat de punten dan een deel van de oorspronkelijke vorm moeten behouden was het daardoor voor mij niet meer te volgen.

Goed lezen samen met ook nog eens de gedachtes van anderen proberen te volgen blijft lastig. Dat zie ik ook vaak terug in de praktijk op het werk waarbij men het dan simpeler vind om het wiel opnieuw uit te gaan vinden dan meer energie te stoppen in de analyse wat de andere al heeft uitgezocht. En dat is feitelijk verspilling van energie en tijd en dubbel werk.

Cruciaal is dan dat degene die wat heeft uitgezocht helder en overzichtelijk blijft documenteren en (nog belangrijker) zorgt dat hij /zij het gedocumenteerde 1 op 1 toelicht en daarbij zorgt dat hij/zij snapt waar de gedachten van de ontvanger zitten. Want de praktijk leert dat mensen alsnog geen energie stoppen in het lezen van andermans spullen als die voor de lezer niet helder en overzichtelijk overkomen.

[Xilvo]

Ik heb jouw methode gelezen, ik denk dat ze op zich wel klopt. Kom je finaal ook uit op exact dezelfde oplossing als xilvo of is er nog iets fout?

Ik heb de resultaten van HansH, \(x=k \sqrt{\cos \alpha}\cos \alpha\) en \(y=k \sqrt{\cos \alpha}\sin \alpha\) bekeken, Die komen mooi met mijn resultaten overeen.

[HansH]

als de vorm verder van p afligt dan moet je een andere vorm krijgen.
p1variabel.gif

Wat er dus feitelijk gebeurt is dat je tov p1 in de oorsprong tegen de curve aanliggend nu de lijn x=0 naar rechts gaat verpaatsen (= actie A in onderstaand plaatje) daardoor dwing je dat er alleen nog maar dm punten rechts van die lijn mogen liggen. Zoals eerder geconcludeerd verandert de vorm van de curve niet, maar moet het volume wel gelijk blijven aan het oorspronkelijke bolvolume. stap B laat zien dat de oorspronkelijke vorm gelijk kan blijven (ookal dacht ik eerder van niet) en stap C laat zien dat de curve dan geschaald moet worden om hetzelfde bolvolume te houden

punt is echter wat er dan zou gebeuren als je de lijn (stap A) verder naar rechts zou schuiven dan de rechterkant van de oorspronkelijke curve. Daaruit blijkt dat het toch nog iets anders moet gaan:

tegelijkertijd met het verschuiven van de linkergrens waar massa mag liggen (stap A) schaalt de curve qua grootte mee (stap C) zodat de rode omwentelingsfiguur altijd hetzelfde volume blijft houden als de oorspronkelijke bol. dat betekent dus als p1 heel ver wegligt dat dan de schaling naar oneindig gaat en je in feite een dun plakje overhoudt afgesneden van de rechterant van de omwentelingsfiguur, maar die is dan ver opgeschaald.
.

[HansH]

Ik heb jouw methode gelezen, ik denk dat ze op zich wel klopt. Kom je finaal ook uit op exact dezelfde oplossing als xilvo of is er nog iets fout?

Ik heb de resultaten van HansH, \(x=k \sqrt{\cos \alpha}\cos \alpha\) en \(y=k \sqrt{\cos \alpha}\sin \alpha\) bekeken, Die komen mooi met mijn resultaten overeen.

Het zal aan mij liggen dat ik jouw aanpak niet goed kan volgen, maar kun je ook laten zien dat je jouw oplossing kunt vertalen naar mijn formules? of kun je alleen laten zien dat er numeriek opgelost ongeveer hetzelfde uitkomt? met dezelfde natuurwetten zou je met verschillende methoden van aanpak immers uiteindelijk op precies dezelfde formules moeten komen. Ik heb geprobeerd mijn aanpak stap voor stap helder op te schrijven waar om gevraagd werd. misschien goed om dat voor jouw aanpak ook nog te doen.

[Xilvo]

Het zal aan mij liggen dat ik jouw aanpak niet goed kan volgen, maar kun je ook laten zien dat je jouw oplossing kunt vertalen naar mijn formules?

Aaantonen dat ze op hetzelfde neerkomen zal niet zo moeilijk zijn.

Ik heb geprobeerd mijn aanpak stap voor stap helder op te schrijven waar om gevraagd werd. misschien goed om dat voor jouw aanpak ook nog te doen.

Dat heb ik al lang geleden gedaan, namelijk in deze twee berichten:
principe en uitwerking

[HansH]

klopt. maar dat is voor mij niet te volgen. (tijdens het posten van jouw vorig bericht was ik dat net aan het analyseren)

[wnvl1]

punt is echter wat er dan zou gebeuren als je de lijn (stap A) verder naar rechts zou schuiven dan de rechterkant van de oorspronkelijke curve. Daaruit blijkt dat het toch nog iets anders moet gaan:

Ik snap het probleem niet goed. In jullie oplossing bevat de parametrisering van de curve toch een parameter die je kan kiezen. Je kan die parameter kiezen zodanig dat je een infinitesimaal klein volume hebt of een oneindig groot volume. Jouw probleem met de 'oorspronkelijke' curve snap ik dan ook niet.

[wnvl1]

klopt. maar dat is voor mij niet te volgen. (tijdens het posten van jouw vorig bericht was ik dat net aan het analyseren)

De posts met uitleg van xilvo kloppen op zich wel. Het is misschien handig om aan te wijzen welke zin je niet begrijpt.

Hier heb ik ook nog een meer formele andere uitwerking teruggevonden.

https://math.stackexchange.com/question ... al-gravity

[HansH]

De oorspronkelijke curve is de omwentelingsfiguur die hoort bij een bol met volume Vref waarbij punt p tegen de curve aan ligt (dis maximale haalbare zwaartekracht) uit mijn analyse hierboven blijkt dat de vorm van die curve altijd hetzelfde is x en y als functie van aplha maar de afmetingen kunnen schalen met een parameter k1.

[HansH]

Het is misschien handig om aan te wijzen welke zin je niet begrijpt.

zie viewtopic.php?p=1185628#p1185628 4 berichten hierboven

[HansH]

Het is misschien handig om aan te wijzen welke zin je niet begrijpt.

zie viewtopic.php?p=1185628#p1185628 4 berichten hierboven

ik snap ook niet waar in de redenatie van xilvo het criterium volgt waaruit blijkt dat je maximale zwaartekracht hebt. bij mij volgt dat criterium uit het feit dat verplaatsen van massa over het oppervlak geen effect heeft op de zwaartekracht. Dus wat er verder in dat volume zit omsloten door dat oppervlak is niet van belang. Dat maakt de puzzel waarschijlijk al een ordegrootte simpeler. Dat was ook al de hint die Ukster in het openingsbericht gaf (maar ik pas achteraf in de gaten had toen ik zag dat mijn criterium feitelijk die hint was)

[Xilvo]

klopt. maar dat is voor mij niet te volgen. (tijdens het posten van jouw vorig bericht was ik dat net aan het analyseren)
onduidelijk.gif

Misschien kun je je vragen punt voor punt duidelijk in een bericht schrijven? Ik ga geen antwoorden ook nog eens in die plaatjes plaatsen.
Blijkbaar is het begrijpen van wat ik schreef voor anderen geen probleem.

[HansH]

Hier heb ik ook nog een meer formele andere uitwerking teruggevonden.
https://math.stackexchange.com/question ... al-gravity

Voor mij te compact met te weinig tussenstappen. wordt voor mij een puzzeltje om dat helder te krijgen helaas.