integrodifferentialequation

[ukster]

Een integrodifferentiële vergelijking is een vergelijking die zowel afgeleiden als integralen bevat van een onbekende functie. Dit type vergelijking combineert aspecten van differentiaalvergelijkingen (die afgeleiden bevatten) en integraalvergelijkingen (die integralen bevatten). Deze vergelijkingen komen vaak voor in toepassingen zoals fysica, techniek, en wiskundige modellering, bijvoorbeeld bij warmtegeleiding, populatiedynamica, en elektrodynamica.

integrodifferentialequation 7428 keer bekeken

y(0)=0
y(t) = ?

[wnvl1]

Je kan de vergelijking differentiëren, dan krijg je een tweede orde differentiaalvergelijking. Maar dan heb je wel twee beginvoorwaarden nodig. Het zou logisch zijn om ook de afgeleide van y in 0 te krijgen.

[ukster]

Klopt, wat jij voorstelt met y(0)=0 en y'(0)=0 geeft (uiteraard) hetzelfde resultaat als Laplace toegepast op de oorspronkelijke vergelijking met y(0)=0

[wnvl1]

$$\displaystyle y{\left(t \right)} = \frac{e^{t}}{2} - \frac{9 e^{- t}}{2} + e^{- 2 t} + 2 \sqrt{3} e^{- \frac{t}{2}} \cos{\left(\frac{\sqrt{3} t}{2} + \frac{\pi}{6} \right)}$$

[wnvl1]

Klopt, wat jij voorstelt met y(0)=0 en y'(0)=0 geeft (uiteraard) hetzelfde resultaat als Laplace toegepast op de oorspronkelijke vergelijking met y(0)=0

Ik veronderstel dat jij deze vergelijking wil oplossen met een inverse Laplacetransformatie.
Hoe zit die voorwaarde y'(0)=0 dan verwerkt in die aanpak?

Ik heb ze opgelost door een extra keer af te leiden en dan wordt het een tweede orde DV.

Code: Selecteer alles

import sympy as sp
from sympy import Function, dsolve, Eq, Derivative, sin, cos, symbols
from sympy.abc import t
import numpy as np
y = Function('y')
dsolve(Derivative(y(t), t, t) + 3*Derivative(y(t), t) + 2*y(t) -3*sp.exp(t) - 6*Derivative(sp.exp(-t/2)*sp.cos(sp.sqrt(3)*t/2),t), y(t), ics={y(0): 0, y(t).diff(t).subs(t, 0):0})

[ukster]

De Laplace tansformatie met y(0)=0 geeft exact hetzelfde resultaat.

linkerlid 6260 keer bekeken

rechterlid 6257 keer bekeken

Laplace 6260 keer bekeken

[wnvl1]

Als je nu zou werken met beginvoorwaarden y(0)=0 en y'(0)=2. Zou het dan nog lukken met een Laplacetransformatie?
Als je de DV oplost op de klassieke manier is er mogelijkheid om beide beginvoorwaarden in rekening te brengen. Hoe ga je dat doen bij een Laplacetransformatie? Ik zie niet direct hoe je die y'(0)=2 gaat verrekenen.

[ukster]

nee ,dat gaat niet lukken denk ik!
Een beperking van Laplace misschien?

[ukster]

Het zal natuurlijk wel lukken met Laplace transformatie op de gedifferentieerde vergelijking.
Als je de oorspronkelijke vergelijking klassiek oplost zal je y'(0) ook niet kunnen verrekenen.

[ukster]

nee ,dat gaat niet lukken denk ik!
Een beperking van Laplace misschien?

Onzin natuurlijk!
Laplace zal geen beperkingen kennen t.o.v. de klassieke methode!

[wnvl1]

Je kan natuurlijk altijd de integrodifferentiaalvergelijking afleiden zoals ik heb gedaan en dan alsnog oplossen met Laplace en dan kan je ook rekening houden met y'(0). Je zou dit verder kunnen doortrekken en die tweede orde DV nog een keer afleiden. Je krijgt dan een derde orde DV en dan kan je ook rekening houden met y''(0).

Conclusie voor mij is dat een DV afleiden niet zomaar mag. Er gaat dan van alles verloren. Als ik de eerste keer afleid, gaat die 9 in het rechterlid verloren. Dat is niet correct. Jouw methode met Laplace is correct en mijn methode waarbij alles afleid om er een tweede orde DV van te maken deugt niet helemaal, al geeft het wel ongeveer dezelfde uitkomst.