Deling door (x+6)

[PhilipVoets]

Wat is de rest bij deling van (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5) door (x+6)?

Ik moest er even op staren en wat uitproberen, maar kwam uit op:
-Rest van deling van (x+3)(x+4)=x^2+7x+12 door (x+6)(x+1)=x^2+7x+6 is 6 (namelijk 12 - 6)
-Rest van deling van (x+1)(x+2)(x+5) door (x+6)(x^2+2x+5) is -20 (namelijk 10 - 30)
-Totale rest is product van resten, dus 6 * -20 = -120

Misschien is het gebrek aan ervaring bij mijn kant, maar het was wel even staren voor ik dit uitgevogeld had. Wat zou een snellere truc zijn? Of is het gewoon patroonherkenning door ervaring?

[Xilvo]

Ik zal er nog wat beter naar kijken maar dit klopt niet, volgens mij.
Ten eerste is de rest, volgens de gebruikelijke definitie, nooit negatief.

Maar, bijvoorbeeld, als x=6, dan is x+6=12 en dan kan de rest nooit 120 (want deelbaar door 12) zijn.

Als x=2, dan is x+6=8. Dan is x+2=4, x+4=6. 4.6 is 24 en deelbaar door 8. Dan is de rest 0.

[wnvl1]

Schrijf de deling als

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5) = (x+6)*Q(x) + R

De rest vind je door x te substitueren door -6, want dan valt (x+6)*Q(x) weg.
R=(-6+1)(-6+2)(-6+3)(-6+4)(-6+5)=-120

[Bart23]

Bij een gewone staartdeling van getallen is de rest per definitie nooit strikt negatief, maar bij veeltermen kan dit wel.

De snelle truc is gebruik maken van de reststelling: De rest bij deling van een een veelterm V(x) door x-a is gelijk aan V(a).
In dit geval is de rest dus de getalwaarde die we bekomen door -6 in te vullen: (-5)(-4)(-3)(-2)(-1)=-120

[Bart23]

ah net geklopt

[PhilipVoets]

Schrijf de deling als

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5) = (x+6)*Q(x) + R

De rest vind je door x te substitueren door -6, want dan valt (x+6)*Q(x) weg.
R=(-6+1)(-6+2)(-6+3)(-6+4)(-6+5)=-120

Thanks! Dus mijn antwoord (-120) klopt wel?
Slimme truc btw, eigen vondst of bekende techniek? De reactie van Bart23 suggereert dat laatste

[wnvl1]

De regel van Horner is daarop gebaseerd. Nee, het is niet zelf uitgevonden. Daarvoor kom ik een paar honderd jaar te laat vermoed ik.

[Bart23]

Je kan natuurlijk ook gewoon de staartdeling doen

x^4 + 9x^3 + 31x^2 + 39x + 40
x + 6 ) x^5 + 15x^4 + 85x^3 + 225x^2 + 274x + 120
x^5 + 6x^4
---------------
9x^4 + 85x^3 + 225x^2 + 274x + 120
9x^4 + 54x^3
---------------------------
31x^3 + 225x^2 + 274x + 120
31x^3 + 186x^2
---------------------------
39x^2 + 274x + 120
39x^2 + 234x
------------------
40x + 120
40x + 240
---------
-120

[PhilipVoets]

Dank voor de inspanning en succes met je RSI na het typen daarvan, haha
Gelukkig is brute kracht zelden de oplossing bij die olympiadevragen

[Bart23]

Geen paniek, ik heb gewoon aan Claude (AI) gevraagd om de euclidische deling te maken en dit in een staartdeling schema te gieten