Dreibein

[Professor Puntje]

De bedoeling van dit topic is om een algebraïsch systeem te vinden waarmee we 1 x 1 x 1 kubussen in de 3D ruimte kunnen representeren. Een soort van vectorrekening dus maar dan met op de kop van de pijltjes nog 1 x 1 x 1 kubussen (een kubus per pijltje) die allerlei standen kunnen hebben. De positie van de kubus kan met een plaatsvector worden aangeduid en de oriëntatie van de kubus middels een dreibein. Bestaat zoiets wellicht al voor het rekenen aan robotarmen?

Opmerking moderator

Dit is een voortzetting van deze topic op Wetenschapsforum

[HansH]

je kunt vanuit kubus 1 naar kubus 2 via lineaire afbeeldingen (verplaatsing,rotatie, schaling) daar zijn geen nieuwe uitvindingen voor nodig.
De positie van de kubus kan met een verplaatsingsmatrix worden aangeduid
De oriëntatie van de kubus middels een rotatiematrix.
dat alles staat hier uitgelegd:
https://sciencetalk.nl/forum/viewtop ... 5#p1182325

[Professor Puntje]

Ja - dat weet ik. Maar de bedoeling is om een algebraïsch systeem te vinden zodanig dat je met de representaties van 1 x 1 x 1 kubussen in de 3D ruimte kunt rekenen. (Voor die representaties moet ik nog een naampje verzinnen, het beestje moet een naam hebben.) Vervolgens kun je op algebraïsche wijze allerlei stellingen afleiden. En die stellingen zijn dan weer op de kubussen toe te passen.

[Professor Puntje]

Dit komt al in de richting: https://en.wikipedia.org/wiki/Dual_quaternion

Maar ik moet nog verder bekijken of het is wat ik zoek.

[HansH]

een algebraïsch systeem te vinden zodanig dat je met de representaties van 1 x 1 x 1 kubussen in de 3D ruimte kunt rekenen.

met afbeeldingen is dan in 3D een 3D matrix. daarmee kun je alle kubussen representeren. er zijn misschien wel andere manieren te bedenken maar die zullen uiteindelijk te herleiden zijn tot dit.

[Professor Puntje]

1 x 1 x 1 kubussen kun je al door drie orthogonale vectoren representeren, dus ook door 3x3-matrices.

[HansH]

1 x 1 x 1 kubussen kun je al door drie orthogonale vectoren representeren, dus ook door 3x3-matrices.

normaal gesproken heb je een probleem waar je dan een oplossing voor zoekt, maar in dit topic heb ik het idee dat je een oplossing zoekt voor een probleem waarvan je nog niet een goed overzicht hebt wat je eigenlijk wilt oplossen. een 1 x 1 x 1 kubus op een plek in een 3D ruimte is vastgelegd door een verplaatsing tov de oorsprong (dat is 1 3Dvector) en nog een rotatie om de juiste richting te krijgen. dat is dus nog een 3D vector. Dus je hebt volgens mij maar 2 vectoren nodig en geen 3. en die 2 stappen samen is dan feitelijk je 3D lineaire afbeelding.

[Professor Puntje]

Met twee vectoren kun je twee ribben van de kubus aanduiden, maar de derde ribbe kan dan nog twee kanten op staan.

[Professor Puntje]

Rotaties kunnen met quaternions: https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternio ... l_rotation

[HansH]

Met twee vectoren kun je twee ribben van de kubus aanduiden, maar de derde ribbe kan dan nog twee kanten op staan.

de extra info die je hebt is het feit dat je al weet dat het een kubus is. dus heb je alleen nog maar de info nodig over de positie en de richting. jij wil een kubus vanaf 0 opbouwen. dan heb je dus meer info nodig inderdaad.

[Professor Puntje]

Interessant:

[Professor Puntje]

Het ziet ernaar uit dat de samenstelling van twee 3D rotaties tot een derde 3D rotatie zowel voor matrix representaties als voor unit quaternion representaties als een product (en niet als een som) wordt gedefinieerd.

[Professor Puntje]

Het product van twee rotatie-matrices is niet commutatief. Het zou fijn zijn om daarnaast ook een commutatieve bewerking op twee rotaties te hebben. Is het mogelijk de twee rotaties R1 en R2 elk in minuscule deelrotaties op te delen en die deelrotaties van R1 en R2 dan afwisselend toe te passen? En is die totaalbewerking dan wel commutatief?

[HansH]

Het zou fijn zijn om daarnaast ook een commutatieve bewerking op twee rotaties te hebben.

dat het niet commutatief is is toch een eigenschap van de rotatie en niet een eigenschap van hoe je de rotatie wiskundig voorstelt? dus daarom denk dat je dat er definitie niet kan lukken.

[Professor Puntje]

Het gebeurt in de wiskunde wel vaker dat iets dat op het eerste gezicht niet kan, via een slimmigheidje toch mogelijk wordt. Mijn idee is om de rotatie R op te delen in minirotaties R1, R2, R3, ... , Rn en evenzo de rotatie S in minirotaties S1, S2, S3, ... , Sn en vervolgens de "som"-rotatie te berekenen waarbij je eerst R1 toepast, dan S1, dan R2, dan S2, dan R3, dan S3, ... , dan Rn, en dan Sn. Voor n nadert tot oneindig (en naar nul gaande deelrotaties) gaat die "som" dan hopelijk ergens naar naderen, en met wat geluk is de zo gedefinieerde bewerking ook commutatief.