Dreibein

[wnvl1]

Het product van twee rotatie-matrices is niet commutatief. Het zou fijn zijn om daarnaast ook een commutatieve bewerking op twee rotaties te hebben. Is het mogelijk de twee rotaties R1 en R2 elk in minuscule deelrotaties op te delen en die deelrotaties van R1 en R2 dan afwisselend toe te passen? En is die totaalbewerking dan wel commutatief?

Ook infinitesimale rotaties zijn niet commutatief. Infinitesimale rotaties volgen de regels van de onderliggende Lie-algebra die gerelateerd is aan de rotatiegroep \( \text{SO(3)} \). Het is interessant om in die context te googlen op Lie algebra, commutatoren en generatoren van rotaties. Dit vind je overigens goed uitgelegd in boeken over quantum velden theorie.

[Professor Puntje]

OK - dus mijn voorstel zou geen commutatieve bewerking opleveren. Maar de limiet zou wel bestaan?

[wnvl1]

Die limiet bestaat zeker. Zoek op "generatoren van rotaties". Die dingen zijn fundamenteel in de QM.

[Professor Puntje]

https://en.wikipedia.org/wiki/Infinites ... _rotations

Het idee bestaat dus al. Maar ik lees ook: "In other words, the order in which infinitesimal rotations are applied is irrelevant."

[wnvl1]

De effecten zijn van tweede orde. Verderop in het wiki artikel staat

When contrasting the behavior of finite rotation matrices in the Baker–Campbell–Hausdorff formula above with that of infinitesimal rotation matrices, where all the commutator terms will be second-order infinitesimals, one finds a bona fide vector space. Technically, this dismissal of any second-order terms amounts to Group contraction.

[Professor Puntje]

Helaas gaat mij dat allemaal boven de pet...

[wnvl1]

Ik zeg niet dat het doodeenvoudig is, maar op youtube heb je wel mooie visualisaties die dat soort van dingen uitleggen zoals

[Professor Puntje]

Mooie video, net gekeken. Die hele serie zal ook wel interessant zijn...?

[Professor Puntje]

De video deed me wel een idee aan de hand voor een definitie van de "som" van twee rotaties. Als je een rotatie aangeeft als een vector in de richting van de rotatie-as en met een lengte gelijk aan de hoekverdraaiing dan kun je de twee vectoren behorende bij twee rotaties gewoon vectorieel optellen. Je moet je daarbij wel beperken tot niet-negatieve hoekverdraaiingen (en mogelijk nog wat andere beperkingen om dubbelzinnigheden te voorkomen.) Is een dergelijk "som" van twee rotaties ook al bekend?

[wnvl1]

De rotaties in drie dimensies vormen een groep die SO(3) (Special Orthogonal Group in drie dimensies) genoemd wordt. Deze rotaties hebben een determinant van 1, wat betekent dat ze het volume en de oriëntatie behouden.

Jij bent op zoek naar nieuwe representaties van SO(3). Ze voorstellen als vectoren die je optelt, gaat niet lukken. Chatgpt schrijft hierover.

Enkele belangrijke representaties van SO(3) zijn:

### 1. **3×3 Rotatiematrices**
- Een element van **SO(3)** kan worden gerepresenteerd als een 3×3 orthogonale matrix \( R \) met \( \det(R) = 1 \).
- Deze matrices beschrijven rotaties in drie dimensies en voldoen aan de eigenschap \( R^T R = I \) (waarbij \( R^T \) de getransponeerde is van \( R \) en \( I \) de eenheidsmatrix).
- **Voordeel**: Volledig en nauwkeurig, maar minder intuïtief om mee te werken vanwege het aantal parameters (9 elementen, maar vanwege de beperkingen effectief 3 vrijheidsgraden).

### 2. **Euler-hoeken**
- Drie hoeken (bijvoorbeeld yaw, pitch, roll) die een sequentie van rotaties rond de assen beschrijven.
- **Voordeel**: Intuïtief en compact.
- **Nadeel**: Onderhevig aan singulariteiten (ook wel "gimbal lock" genoemd) waar de representatie ambigu kan worden.

### 3. **Rotatievectoren (Rodrigues vector)**
- Dit is een 3D-vector die de as en grootte van de rotatie vastlegt. De richting van de vector geeft de rotatie-as, en de lengte geeft de rotatiehoek.
- Vaak gebruikt in combinatie met de *exponentiële kaart*, waarbij een rotatievector van lengte \( \theta \) wordt omgezet in een rotatiematrix door exponentiële operatoren.
- **Voordeel**: Direct en efficiënt, slechts 3 parameters.
- **Nadeel**: Kan soms moeilijker zijn om mee te rekenen voor composities van meerdere rotaties.

### 4. **Quaternionen**
- Een quaternion gebruikt vier parameters om een rotatie weer te geven: één reëel deel en drie imaginaire delen.
- Quaternionen worden vaak geschreven als \( q = w + xi + yj + zk \) met \( w \) de scalair en \( x, y, z \) de vectorcomponenten.
- **Voordelen**: Geen singulariteiten, efficiënt voor rotatiesamenstellingen, en eenvoudig te normaliseren (een quaternion moet norm 1 hebben om een rotatie te representeren).
- **Nadeel**: Minder intuïtief dan Euler-hoeken, maar in de praktijk vaak gebruikt in computer graphics en robotica.

### 5. **Exponentiële kaart en Lie-algebra (\( \mathfrak{so}(3) \))**
- SO(3) kan als Lie-groep worden benaderd via zijn Lie-algebra, \( \mathfrak{so}(3) \), die correspondeert met de ruimtelijke rotatievectoren. Elke rotatie kan worden geschreven als de exponentiële van een matrix uit \( \mathfrak{so}(3) \).
- **Voordeel**: Zeer krachtig voor theoretische analyses en als lokaal lineaire benadering.
- **Nadeel**: Meer abstract en vereist kennis van Lie-groepen.

[Professor Puntje]

Mijn bedoeling is niet om een variant van de reeds bekende vermenigvuldiging van twee rotaties te vinden, daar bestaan er al genoeg van. Het lijkt mij wel leuk om er nog een andere commutatieve bewerking naast te hebben die ik dan voor het gemak maar als "som" van twee rotaties aanduid. Met een vectoriele som van Rodrigues vectoren lijkt mij dat te kunnen. Dat levert niet het bekende product van rotaties op, en dat moet ook niet. In eerste instantie is mijn enige vereiste dat die som goed gedefinieerd is en commutatief is. Daarna kan ik dan bekijken of die som interessante eigenschappen heeft.

[wnvl1]

Je representatie gaat volgens mij echt wel de groepsstructuur van SO(3) moeten behouden, anders ga je er niks aan hebben. Gewoon optellen van Rodrigues vectoren gaat tot niks leiden. Op het internet vind je heel wat werkjes zoals bachelor thesissen over representaties van SO(3). Dat is volgens mij de eerste stap om het dieper te begrijpen.
Ik beheers zelf ook alleen maar de basisprincipes van groeptheorie om de fysica te begrijpen. Het wordt nogal rap heel theoretisch.

[Professor Puntje]

Waar ik op wil uitkomen is een systeem met als elementen eenheidskubussen in de 3D ruimte. Die kubussen hebben een plaats en een oriëntatie. Je kunt ze ook voorstellen als pijltjes met aan de kop een kubusje. De pijltjes eindigen met de kop in de middelpunten van de kubusjes. Als speciaal element E kiezen we de kubus vastgelegd door de eenheidsvectoren van de x-. y- en z-as.

De oriëntatie van de kubussen kunnen we dan aanduiden door een Rodrigues-vector R die het speciale element E een zodanige rotatie geeft dat zijn oriëntatie overeen komt met die van de kubussen. De plaats van een eenheidskubus in de ruimte kunnen we met een gewone 3D plaatsvector p aanduiden. De eenheidskubussen in de 3D ruimte kunnen dus worden aangeduid met koppels (p,r). Wegens de symmetrie van een kubus zijn er meerdere Rodrigues-vectoren die eenzelfde georiënteerde kubus opleveren. De hoekpunten van de kubussen worden niet onderscheiden.

Om met de zo gedefinieerde kubussen (algebraïsch) te kunnen rekenen moeten we ook nog wat bewerkingen op de kubussen in de ruimte definiëren. Ik heb daar al wat ideeën voor, maar moet nog uitvogelen wat het interessantste is...

Zie over de Rodrigues-vector ook: Visualizing rotations and composition of rotations with the Rodrigues vector door Angel G Valdenebro.

[Professor Puntje]

Lastiger dan ik dacht. Ik laat dit idee voorlopig rusten.