Ontbrekende cijfers in irrationele getallen.

[tempelier]

Irrationele getallen gaan nooit repeteren, maar je kan je afvragen of er bij zijn waarin het cijfer 9 ontbreekt.

Dat is zo want je kunt ze eenvoudig zelf maken.
Neem een irrationeel getal en schrijf het negen-tallig uit.
Lees het vervolgens als 10-tallig en men heeft er eentje.

Nu echter iets anders:
Hoeveel zijn er van die soort?
(Een naam hebben ze dacht ik niet)
Dat bleek lastiger dan ik dacht, ik dacht eerst dat ze het zelfde kardinaal getal hebben als de reële getallen.
Ik kon er echter geen goed bewijs voor vinden, maar misschien heeft iemand anders een idee?

[Xilvo]

Er zijn er oneindig veel maar het is een oneindig kleine fractie van alle reële getallen.
Je kunt zo'n getal op oneindig veel manieren veranderen in een getal dat wel een of meer negens bevat.

[tempelier]

Er zijn er oneindig veel maar het is een oneindig kleine fractie van alle reële getallen.
Je kunt zo'n getal op oneindig veel manieren veranderen in een getal dat wel een of meer negens bevat.

Ik had de lat iets hoger liggen dus ook de zeven mag ontbreken, maar ook de twee en de vijf.
Die zijn gemakkelijk te generen, dat is het probleem niet.

Dat er oneindig veel zijn lijkt mij ook, maar dat is geen bewijs.
Daarnaast zouden ze wel eens oneindig aftelbaar kunnen zijn.

PS.
Er is ook nog een dichtheidsprobleem maar alles op zijn tijd.

[jazzer]

Irrationele getallen gaan nooit repeteren, maar je kan je afvragen of er bij zijn waarin het cijfer 9 ontbreekt.

Een cijfer is hier niet meer dan een symbool.

Je kunt inderdaad - zoals je reeds opmerkte - een talstelsel kiezen met minder cijfers dan ons decimale talstelsel, maar bij de transcriptie naar een ander talstelsel verandert er vaak genoeg om in het resultaat bijvoorbeeld geen 9 aan te treffen.
Om een eenvoudig voorbeeld te geven met natuurlijke getallen : als je decimaal 999 hexadecimaal weergeeft, schrijf je dat als 3E7.
Door geschikte talstelsels in te voeren kan je dus bepaalde cijfers vermijden.

Afgezien daarvan kan je in het tiendelig stelsel ook talloze irrationele getallen (beginnen te) schrijven zonder een 9.

Nu echter iets anders:
Hoeveel zijn er van die soort?
Dat bleek lastiger dan ik dacht, ik dacht eerst dat ze het zelfde kardinaal getal hebben als de reële getallen.
Ik kon er echter geen goed bewijs voor vinden, maar misschien heeft iemand anders een idee?

Mij lijkt het logisch dat die verzameling ook het kardinaalgetal van de verzameling irrationele getallen heeft.
Maar ik twijfel er toch aan dat oneindig en oneindig soms verschillende kardinaalgetallen moeten krijgen.
Voor zover ik weet is dat een gevolg van
https://nl.wikipedia.org/wiki/Diagonaal ... van_Cantor
Wie zegt dat er geen andere methode bestaat om de tweedimensionale lijst van irrationele getallen uitputtend af te tellen?
Ik heb alvast een verdedigbaar idee daarover en zal dat binnenkort eens formuleren.

[Professor Puntje]

Bekijk de verzameling B van binaire irrationale getallen. We zien dan dat B dezelfde verzameling is als de verzameling der irrationale getallen, ongeacht het gehanteerde getallensysteem. Er ontstaan niet meer of minder getallen door de schrijfwijze van decimaal in binair te veranderen. Dus heeft B dezelfde kardinaliteit als de verzameling der irrationale getallen, en die laatste verzameling heeft de kardinaliteit van de reële getallen. Maar B heeft ook de kardinaliteit van de verzameling der decimale irrationale getallen met slechts de cijfers 0 en 1. Dus heeft de verzameling van alle decimale irrationale getallen met slechts de cijfers 0 en 1 ook de kardinaliteit van de verzameling der reële getallen.

Het duizelt me, maar ik zie geen fout in bovenstaande...

[tempelier]

Bekijk de verzameling B van binaire irrationale getallen. We zien dan dat B dezelfde verzameling is als de verzameling der irrationale getallen, ongeacht het gehanteerde getallensysteem. Er ontstaan niet meer of minder getallen door de schrijfwijze van decimaal in binair te veranderen. Dus heeft B dezelfde kardinaliteit als de verzameling der irrationale getallen, en die laatste verzameling heeft de kardinaliteit van de reële getallen. Maar B heeft ook de kardinaliteit van de verzameling der decimale irrationale getallen met slechts de cijfers 0 en 1. Dus heeft de verzameling van alle decimale irrationale getallen met slechts de cijfers 0 en 1 ook de kardinaliteit van de verzameling der reële getallen.

Het duizelt me, maar ik zie geen fout in bovenstaande...

Ik ook niet, maar het lijkt me onvolledig.

Immers als we die tweetallig lezen als tientallig dan ontbreken er acht cijfers als er slechts 1 ontbreekt dan hoeft het dus niet te kloppen. Het zou dan nog steeds oneindig aftelbaar kunnen zijn voor 1 ontbrekend cijfer.
Voor 3-tallig klopt het wel, misschien iets met inductie?

[Professor Puntje]

Je kunt mijn redenering toch herhalen voor decimale irrationale getallen waarbij er slechts de cijfers 0, 1 en 2 voorkomen en de ternaire irrationale getallen. Etc.

[tempelier]

Je kunt mijn redenering toch herhalen voor decimale irrationale getallen waarbij er slechts de cijfers 0, 1 en 2 voorkomen en de ternaire irrationale getallen. Etc.

Daar ben ik ook opgekomen.

Voor het weglaten van 1 cijfer in een n-tallig systeem gaan we naar een (n-1) tallig systeem en volgen jouw redenering.
Voor het weglaten van 2 cijfers gaan we naar een n-2 tallig systeem en volgen ook jouw redenering.
enz enz.

Bedankt dat je het opgelost voor me.

[Professor Puntje]

De vraag of er een deelverzameling van de verzameling der reële getallen bestaat met een kardinaalgetal groter dan dat van de natuurlijke getallen en kleiner dan dat van de reële getallen is lastiger.

[tempelier]

De vraag of er een deelverzameling van de verzameling der reële getallen bestaat met een kardinaalgetal groter dan dat van de natuurlijke getallen en kleiner dan dat van de reële getallen is lastiger.

Het is zelfs niet bewijsbaar.
------------------------------------------------------------
Maar er is iets mis met onze bewijsvoering.
Beschouw de twee vormen:

v1=1.000000000000000000000000000000...............................................
v2=0.1111111111111111111111111111111111111111111111...............................................

In het tweetallig stelsel geldt nu: v1=v2=1
In het tientallig stelsel geldt dan echter: v1=1 en v2=1/9

Dus twee vormen kunnen in het ene stelsel gelijk zijn en in het andere niet.
Maar voor gelijkmachtigheid van verzamelingen moet er een 1-1 afbeelding tussen ze bestaan.
We zijn dus weer bij af.


PS.
Gelukkig bevinden we ons in goed gezelschap want Cantoer maakte destijds de zelfde vergissing die door Bernstein werd opgemerkt en die met een kunstgreep het bewijs alsnog correct maakte.

[Professor Puntje]

Voor irrationale getallen kunnen de door jou vermelde gevallen niet voorkomen.

[tempelier]

Voor irrationale getallen kunnen de door jou vermelde gevallen niet voorkomen.

Dat is waar, maar vertrouwen doe ik het nog niet helemaal.
Ik ga er nog even over broeden.

[Professor Puntje]

Ja - het is tricky omdat je speelt met de interpretatie van getallenrepresentaties. Ik heb het zelf ook nog niet zo helder als ik het graag zou zien...

[Professor Puntje]

De vraag of er een deelverzameling van de verzameling der reële getallen bestaat met een kardinaalgetal groter dan dat van de natuurlijke getallen en kleiner dan dat van de reële getallen is lastiger.

Het is zelfs niet bewijsbaar.

Niet bewijsbaar op basis van ZFC, maar dat zegt nog niet alles. Denk je zelf dat het wel een feit is dat er wel of niet een deelverzameling van de verzameling der reële getallen bestaat met een kardinaalgetal groter dan dat van de natuurlijke getallen en kleiner dan dat van de reële getallen? Of is dat een zinloze bewering zodat we zelf kunnen uitmaken wat we veronderstellen?

[tempelier]

De vraag of er een deelverzameling van de verzameling der reële getallen bestaat met een kardinaalgetal groter dan dat van de natuurlijke getallen en kleiner dan dat van de reële getallen is lastiger.

Het is zelfs niet bewijsbaar.

Niet bewijsbaar op basis van ZFC, maar dat zegt nog niet alles. Denk je zelf dat het wel een feit is dat er wel of niet een deelverzameling van de verzameling der reële getallen bestaat met een kardinaalgetal groter dan dat van de natuurlijke getallen en kleiner dan dat van de reële getallen? Of is dat een zinloze bewering zodat we zelf kunnen uitmaken wat we veronderstellen?

De stand van zaken is:
Dat als je aanneemt dat er tussen de kardinaal natuurlijke getallen en de reële getallen geen andere kardinaal getallen zijn dat er dan geen contradicties ontstaan. Neem je echter aan dat ze er wel zijn dan ontstaan er ook geen contradicties.