Ontbrekende cijfers in irrationele getallen.

[Professor Puntje]

Het is zelfs niet bewijsbaar.

Niet bewijsbaar op basis van ZFC, maar dat zegt nog niet alles. Denk je zelf dat het wel een feit is dat er wel of niet een deelverzameling van de verzameling der reële getallen bestaat met een kardinaalgetal groter dan dat van de natuurlijke getallen en kleiner dan dat van de reële getallen? Of is dat een zinloze bewering zodat we zelf kunnen uitmaken wat we veronderstellen?

De stand van zaken is:
Dat als je aanneemt dat er tussen de kardinaal natuurlijke getallen en de reële getallen geen andere kardinaal getallen zijn dat er dan geen contradicties ontstaan. Neem je echter aan dat ze er wel zijn dan ontstaan er ook geen contradicties.

Geen contradicties inderdaad met datgene wat uit de axioma's van ZFC kan worden afgeleid. Je zou dan ook kunnen zeggen dat ZFC het verzamelingenbegrip nog onvoldoende nauwkeurig omschrijft. Of zie je dat anders?

[tempelier]

Niet bewijsbaar op basis van ZFC, maar dat zegt nog niet alles. Denk je zelf dat het wel een feit is dat er wel of niet een deelverzameling van de verzameling der reële getallen bestaat met een kardinaalgetal groter dan dat van de natuurlijke getallen en kleiner dan dat van de reële getallen? Of is dat een zinloze bewering zodat we zelf kunnen uitmaken wat we veronderstellen?

De stand van zaken is:
Dat als je aanneemt dat er tussen de kardinaal natuurlijke getallen en de reële getallen geen andere kardinaal getallen zijn dat er dan geen contradicties ontstaan. Neem je echter aan dat ze er wel zijn dan ontstaan er ook geen contradicties.

Geen contradicties inderdaad met datgene wat uit de axioma's van ZFC kan worden afgeleid. Je zou dan ook kunnen zeggen dat ZFC het verzamelingenbegrip nog onvoldoende nauwkeurig omschrijft. Of zie je dat anders?

Het systeem van de Natuurlijke getallen is waarschijnlijk niet Godel vrij.
Er zouden dan altijd vragen open blijven staan.
Dat werkt natuurlijk door in verzamelingen die op de Natuurlijke getallen zijn gebaseerd.

[jazzer]

Cijfers hebben zo weinig met getallen te maken als letters met woorden.
De ware aard van getallen of de betekenis van woorden verandert niet in een ander talstelsel of in een andere taal.

Maar ik vraag me nog steeds af of de verzameling der reële getallen (incl. de irrationale) niet aftelbaar is.
Indien dat exhaustief aftellen wel kan is het zinledig om over kardinaalgetallen te spreken.

[Professor Puntje]

Maar ik vraag me nog steeds af of de verzameling der reële getallen (incl. de irrationale) niet aftelbaar is.
Indien dat exhaustief aftellen wel kan is het zinledig om over kardinaalgetallen te spreken.

Dat is eenvoudig op te lossen. Er zijn meerdere bewijzen voor dat de verzameling der reële getallen overaftelbaar is. Daar zul je dan fouten in moeten zien te vinden. Simpelweg iets betwijfelen zonder je in de beschikbare argumenten (hier: bewijzen) te verdiepen is geen sterke positie.

[jazzer]

Er zijn meerdere bewijzen voor dat de verzameling der reële getallen overaftelbaar is. Daar zul je dan fouten in moeten zien te vinden. Simpelweg iets betwijfelen zonder je in de beschikbare argumenten (hier: bewijzen) te verdiepen is geen sterke positie.

Hieronder dan het bewijs dat ik heb bedacht:
Bij oneindigheid speelt het begrip aftelbaar. Dat wil zeggen dat bij ieder natuurlijk getal een getal uit een andere oneindige verzameling geplaatst kan worden om zo uiteindelijk alle getallen uit die oneindige verzameling te kunnen koppelen aan een natuurlijk getal.
Voor zover ik weet zijn er twee manieren waarop dat wordt gerealiseerd. De bekendste is de diagonaalmethode.
Zie o.a. https://nl.wikipedia.org/wiki/Diagonaal ... van_Cantor
De andere wordt gebruikt om te bewijzen dat je ook alle rationale getallen (dus breuken) kunt koppelen aan een natuurlijk getal en met die methode doorloop je in een soort diagonale zigzag (met telkens langer wordende diagonalen) het (vierkante?) raster van rationale getallen.
Tot dusver kan je zo de aftelbaarheid bewijzen van alle even en oneven natuurlijke getallen, priemgetallen, rationale getallen, maar ook de verzameling van alle gehele getallen (dus incl. nul en de negatieve).

Zodra alle reëele getallen (incl. de irrationale) aan bod komen begint men alweer met een (rechthoekig?) raster waarin alle getallen beginnend met 0,... worden voorgesteld door cijfersymbolen met 2 indexen.
Bijvoorbeeld Cxy waarbij x de (raster)kolom is en y de rij (in het raster).
Dus kolom x en rij y waarbij we beginnen met 0 voor de eerste kolom en rij, ... 9 voor de tiende, ... 999 voor de duizendste, ... enzovoort.

0, C00 C10 C20 C30 ... Cx0 ...
0, C01 C11 C21 C31 ... Cx1 ...
0, C02 C12 C22 C32 ... Cx2 ...
0, .....
0, C0y C1y C2y C3y ... Cxy ...
0, .....

Daarop wordt dan (om te bewijzen dat die verzameling niet aftelbaar is) de diagonaalmethode losgelaten om een reëel getal te schrijven dat zeker niet voorkomt in dit raster.
Het cijfer C00 wordt vervangen door een (willekeurig) ander cijfer waardoor je een getal begint te construeren dat zeker verschilt van het eerste getal (0, C00 C10 C20 C30 ... Cx0 ...). Vervolgens voegen we aan ons ontbrekend getal een tweede cijfer toe, verschillend van C11, ... derde cijfer, verschillend van C22 ... enzovoort.
Zo bewijs je dat de diagonaalmethode ongeschikt is om af te tellen in de verzameling reëele getallen ... maar ook niet meer dan dat. Nochtans wordt de conclusie getrokken dat verzameling reëele getallen (zelfs deze deelverzameling die begint met 0,...) groter is dan de verzameling natuurlijke getallen (en dus ook de verzamelingen van gehele en van rationale getallen)!

Aan de oneindige verzameling natuurlijke getallen wordt het kardinaalgetal 1 toegekend en aan de oneindige verzameling reëele getallen het kardinaalgetal 2.
Het kardinaalgetal is zoiets als een machtigheid dat verwijst naar het aantal dimensies (of indexen) dat minimaal nodig is om alle getallen (van verzameling Wi) te representeren als raster.

Dat betekent volgens mij niet dat de verzameling W2 groter is dan W1 ... en evenmin dat W7 groter is dan bijvoorbeeld W3.
Oneindig is oneindig en niet meer of minder!
De fout in elke andere conclusie ontstaat door te veronderstellen dat we de beste (en unieke) telwijze (bv. de diagonaalmethode) gebruiken om alle getallen lineair te kunnen doorlopen.
Daarom doe ik nu een poging om irrationale getallen exhaustief af te tellen.

In plaats van meteen alle getallen te noteren met oneindig veel cijfers achter de komma, begin ik met een rechthoekig raster waaraan ik stelselmatig een kolom (en dus G tot de k-de macht rijen) toevoeg. De verhouding tussen de lengte (= aantal rijen) en de breedte (= aantal kolommen) groeit exponentieel en hangt bovendien af van het gebruikte talstelsel G (binair, ... decimaal, ...). Essentieel blijft echter dat we telkens het tweedimensionaal raster kunnen vergroten terwijl dat volledig lineair aftelbaar blijft.

Als we dat doen in het tiendelig talstelsel koppelen we aan (het natuurlijk getal) 0 rastercijfer 0,C00 (gevolgd door nullen voor C10, C20 C30 ... Cx0, ...). Daarna koppelen we aan 1 rasterrij 0,C01 (gevolgd door nullen voor C11, C21, ... Cx1, ...). Vervolgens 0,C02 0 0 0 ... aan 2. Dat gaat (in ons decimaal talstelsel) zo tot 0,C09 0 0 0 ... zolang we slechts één beduidende kolom hebben.
Ons lineaire telwijze leverde nu reeds 0 & 0,000000, 1 & 0,100000 ... 9 & 0,900000.

Omdat we ons hoogste beduidend cijfer (in de eerste kolom na de komma) hebben bereikt, breiden we ons raster uit met een tweede kolom beduidende cijfers. Zo wordt onze lineaire telwijze verder uitgebreid met 10 & 0,010000 dan 11 & 0,020000 dan 12 & 0,030000 ... 18 & 0,090000 dan 19 & 0,10.
Daarna vervolgt onze aftelling met 20 & 0,11 dan 21 & 0,12 ... 107 & 0,99 vervolgens een raster met drie (beduidende) kolommen waarin alle mogelijke cijfercombinaties voorkomen ... 108 & 0,001 ... tot 1106 & 0,999.
Door een vierde beduidende kolom toe te voegen wordt onze tabel alweer tienmaal langer maar we kunnen alle getallen daarin blijven koppelen aan een natuurlijk getal.
De aftelbaarheid blijft bestaan. Die verdwijnt eigenlijk nooit omdat we volgens voormeld algoritme steeds verder kunnen gaan met het toevoegen van kolommen beduidende cijfers.

[Professor Puntje]

Zucht...

[tempelier]

Je vergeet dat de diagonaal methode een bewijs uit het ongerijmde is.

De begin onderstelling is dat de kolom ALLE reële getallen van het interval [0,1] bevat.

Nu blijkt echter dat er dan te minste nog eentje is die er niet bij staat.
Dus was de onderstelling onjuist en zijn die niet oneindig aftelbaar.

PS.
De algebraïsche getallen zijn wel oneindig aftelbaar.

[jazzer]

Ik weet dat de diagonaal methode een bewijs uit het ongerijmde is, maar er scheelt iets aan de methode die van de veronderstelling uitgaat dat je zo onvermijdelijk alle reële getallen beginnend met 0,xyz vindt.
Om mijn bovenstaand bewijs aanschouwelijker te maken toon ik even aan hoe ongeschikt de diagonaalmethode is om alle getallen in een rooster af te tellen.
Stel dat iemand op basis daarvan beweert dat een raster met alle getallen van 3 (decimale) cijfers nooit volledig kan zijn omdat je een getal kunt construeren dat de diagonaalmethode nooit zal ontdekken.
Noteer vervolgens alle getallen in zo 'n raster. Dat ziet eruit als:
001
002
003
004
...
998
999
We trekken onze diagonaal uit de linker bovenhoek naar rechts en doorlopen zo de cijfers 003 (uit rij 1, 2 en 3).
De eerste 0 vervangen we bijvoorbeeld door een 6, de tweede 0 door 1 en de 3 door 5 ... en besluiten dat 615 niet in het raser staat.
Met mijn algoritme daarentegen vindt die 615 omdat ik stelselmatig kolommen toevoeg en dan alle getallen aftel die zo ontstonden.
Dus eerst 1 kolom met alle getallen tot 9, daarna 2 kolommen met alle getallen tot 99 en dan de derde kolom die tot 999 loopt.
1
2
3
...
9
10
11
12
...
19
20
21
...
99
100
101
...
615
...
999
Nooit stoot ik op oneindig, behalve wanneer mijn getallen oneindig lang moeten zijn.
Die oneindigheid wordt slechts bereikt (of benaderd) door toevoeging van die oneindigste kolom.
Voor het zover is blijft alles perfect aftelbaar.

[tempelier]

Je verhaal klopt niet omdat het aantal cijfers zo eindig is.
Je loopt dus prompt vast met de transcendente getallen die niet in je verhaal voorkomen.

PS.
Dit gaat niet meer over mijn onderwerp en hoort meer thuis onder theorie ontwikkeling.

[Professor Puntje]

@tempelier Wat is het precies dat je nog mist in mijn bewijs? Is dat dat de irrationale getallen in ieder n-tallig stelsel slechts op een manier geschreven kunnen worden. Dat wil zeggen dat er voor ieder natuurlijk getal n groter dan 1 een bijectie bestaat tussen de irrationale getallen en hun n-tallige representaties...

[tempelier]

@tempelier Wat is het precies dat je nog mist in mijn bewijs? Is dat dat de irrationale getallen in ieder n-tallig stelsel slechts op een manier geschreven kunnen worden. Dat wil zeggen dat er voor ieder natuurlijk getal n groter dan 1 een bijectie bestaat tussen de irrationale getallen en hun n-tallige representaties...

Ik dacht eerst dat er iets mis was. vanwege de repetentie)
Jij merkte op dat de vermeende fout niet bestond.
Daarna wilde ik er eerst nog een nachtje over slapen.

Ik heb echter niets gevonden maar ben vergeten dat te melden.

Sorry hoor.

Ik heb nog even zitten dubben over de algebraïsche getallen maar ook dat was loos alarm.

[Professor Puntje]

OK - op naar het volgende probleem...