Macroscopische voorwerpen en het onzekerheidsprincipe

[wnvl1]

Als ik een voetbal wil beschrijven dan heb ik een golffunctie die eruit ziet als

\[
\Psi(\vec{q}_1, \vec{q}_2, \dots, \vec{q}_N).
\]

met \(q_i\) verlagemeende coördinaten die de verschillende deeltjes van de voetbal beschrijven.

De totale impuls vind ik dan door de impulsen van de verschillende deeltjes op te tellen

\[
\hat{\vec{P}} = \sum_{i=1}^N \hat{\vec{p}}_i
\]

De impuls van de verschillende deeltjes vind ik via de partiële afgeleiden van de Lagrangiaan van het volledige systeem

\[p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\]

De macroscopische positie 'x' van de voetbal (massacentrum?) vind ik dan via uitmiddeling van de verschillende \(q_i\) (gewogen gemiddelde op basis van de massa van de deeltjes waaruit de bal bestaat)?

En voor de voetbal als geheel gelden dan de onzekerheidsrelaties van Heisenberg.

\[
\Delta x \cdot \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2}
\]

waarbij p dan gelijk is macroscopisch aan mv en x de macroscopische postie van de bal (massacentrum?).
Het lijkt mij niet zo voor de hand liggend dat de onzekerheidsrelaties zo maar stand houden na statistische uitmiddeling? Iets gelijkaardigs komt mij niet gekend voor uit andere deeldomeinen van de statistiek. Ik denk bijvoorbeeld aan de centrale limietstelling.
Is daar eerder iets over gepubliceerd? Ik vind gelijkaardige vragen niet direct terug op het net.

[Noel]

En voor de voetbal als geheel gelden dan de onzekerheidsrelaties van Heisenberg.

\[
\Delta x \cdot \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2}
\]

Hieruit is toch direct duidelijk dat als delta x groter wordt dat delta p_x kleiner zal zijn, een duidelijke wiskundige relatie, alleen dat geq, groter gelijk, dat kan nog een verschil maken, waarom de relatie niet helemaal symmetrisch hoeft te zijn.

[wnvl1]

Dat \( \Delta x\) groter wordt als als \(\Delta p_x\) kleiner wordt, dat begrijp ik wel. Een meer nauwkeurige vastlegging van de positie, impliceert een wijdere spreiding van het impuls.

Mijn vraag is bedoeld als, hoe kan je aantonen dat je de onzekerheidsrelaties kan uitbreiden van kleine objecten zoals een electron naar grote samengestelde objecten als een voetbal. Positie en impuls worden samengestelde grootheden en er gaan ook allerhande interacties een rol spelen en toch blijven de onzekerheidsrelaties gelden. Rechts in de ongelijkheid blijft gewoon de constante van Planck staan.

[Noel]

Dat \( \Delta x\) groter wordt als als \(\Delta p_x\) kleiner wordt, dat begrijp ik wel. Een meer nauwkeurige vastlegging van de positie, impliceert een wijdere spreiding van het impuls.

Mijn vraag is bedoeld als, hoe kan je aantonen dat je de onzekerheidsrelaties kan uitbreiden van kleine objecten zoals een electron naar grote samengestelde objecten als een voetbal. Positie en impuls worden samengestelde grootheden en er gaan ook allerhande interacties een rol spelen en toch blijven de onzekerheidsrelaties gelden. Rechts in de ongelijkheid blijft gewoon de constante van Planck staan.

Het is de kleinste limiet h/2 en zal bij grotere onzekerheden ver daarboven zijn, het is geen constante-relatie, dus waar delta x en delta p_x groot zijn daar is de relatie niet meer aan te tonen. We moeten aannemen dat het verband universeel is. Logisch is het wel als je snelheid meet (voor impuls) kan je niet positie meten en andersom.Ook het verband tussen delta E en delta t lijkt logisch, en universeel.

[Bladerunner]

Het onzekerheidsprincipe speelt helemaal niet in de macroscopische wereld. Het heeft alleen betekenis bij (elementaire) deeltjes fysica of samengestelde deeltjes. De grens ligt zo'n beetje bij atomen of vergelijkbare kwantiteiten want zodra je over vele moleculen gaat spreken vervalt het principe tot een vrijwel onmeetbare deelname. Bij een voetbal dus totaal. Doe je dat toch dan krijg je vreemde situaties en antwoorden omdat je een principe probeert toe te passen op iets waar het niet bestaat c.q. voor bedoeld is. Een eventuele relatie van parameters bij macroscopische objecten kan bestaan maar alleen puur rekenkundig zonder dat daar het onzekerheidsprincipe in betrokken hoeft te worden.

Eigenlijk net zoiets als tijd dilatatie: Zolang de snelheid niet extreem hoog is speelt ook dat geen rol in de praktijk.

[HansH]

Doe je dat toch dan krijg je vreemde situaties en antwoorden omdat je een principe probeert toe te passen op iets waar het niet bestaat c.q. voor bedoeld is.

Eigenlijk net zoiets als tijd dilatatie: Zolang de snelheid niet extreem hoog is speelt ook dat geen rol in de praktijk.

het eerste wat je zegt zou gelijkwaardig moeten zijn met het 2e, namelijk dat het effect naar 0 gaat. dus zou geen vreemde situaties mogen opleveren maar in laats daarvan een effect wat naar 0 gaat voor grote afmetingen.

[OOOVincentOOO]

Is het wellicht beter te verklaren aan de hand van de Broglie wavelength? In combinatie met frequentie en golflengte principe bij Fourier spectrum? De compromis tussen snelheid of plaats is goed te bepalen afhankelijk van (Broglie) golflengte Wikiversity? Daar deze direct gerelateerd is aan impuls?

$$\lambda_{B}=\frac{h}{p}$$

Radar voorbeeld verwoord m.b.v. chatgpt:

Radar Analogy
In radar systems, a similar principle applies. When you use a short pulse to measure distance, the frequency bandwidth of the pulse becomes wide, leading to less precise velocity measurements (since velocity is related to frequency shift). This trade-off between time (position) and frequency (momentum) resolution mirrors Heisenberg's uncertainty principle.

Bij nalezen begrijp ik dat het momentum de Fourier transformatie van \(\Psi(x)\) is zie: Medium.

Wanneer \(\Psi(x)\) een Gaussian \(\exp(-x^2/\sigma)\) wavelet is. Met grote en kleine golflengte voorstellende de breedte wavelet (stdev). De Fourier transformatie van een Gaussian wavelet is wederom een Gaussian wavelet. Waardoor \(\Psi(x)\) (plaats) en \(\Phi(p)\) (impulse) beide met andere breedte (stdev).

Rekenvoorbeeld Broglie wavelength Basketball: phys.libretexts.org schijnt slechts \(3.55 \text{pm}\) te zijn. Betekende dat naar mijn inzicht: brede \(\Phi(p)\) en smalle \(\Psi(x)\) de plaats dus nauwkeurig bepaald.

Wat code via chatgpt met wat aan passing van mijzelf. Hierbij numeriek Fourier transform van: \(\Psi(x)\) naar \(\Phi(p)\). Waarbij tegengestelde wisselwerking tussen stdev's \(\Psi(x)\) en \(\Psi(x)\) en zichtbaar zijn. Verander sigma in code om breedte input te variëren.

Degenen zonder Python: copy paste code hier: https://trinket.io/python3.

Code: Selecteer alles

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.fftpack import fft, fftfreq, fftshift

# Parameters
sigma = .05  # Width parameter of the Gaussian
x_range = 10  # Range of x values (-x_range to x_range)
n_points = 1024  # Number of points for the numerical grid

# Create x values
x = np.linspace(-x_range, x_range, n_points)

# Define the Gaussian function
f_x = np.exp(-x**2 / sigma)

# Perform the Fourier Transform
f_k = fft(f_x)
f_k = fftshift(f_k)  # Shift zero frequency to the center
k = fftshift(fftfreq(n_points, d=(x[1] - x[0])))  # Frequency values

# Normalize the Fourier Transform (optional, for proper scaling)
f_k = np.abs(f_k) / np.sqrt(2 * np.pi)

# Plot the results
plt.figure(figsize=(12, 6))

# Plot the original Gaussian
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(x, f_x, label=f"$f(x) = e^{{-x^2 / {sigma}}}$")
plt.title("Gaussian Function in Real Space")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.xlim(-5, 5)
plt.grid()
plt.legend()

# Plot the Fourier Transform
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(k, f_k, label="Fourier Transform of f(x)")
plt.title("Fourier Transform in Frequency Space")
plt.xlabel("k")
plt.ylabel("|F(k)|")
plt.xlim(-5, 5)
plt.grid()
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

[OOOVincentOOO]

phys.libretexts.org schijnt slechts \(3.55 \text{pm}\) te zijn.

Ik heb verkeerde getal overgenomen. Dient: \(\lambda_{B}=h/p=1.02 \times 10^{-34} \ \text{m}\) te zijn voor Basketball volgens de pagina.

[wnvl1]

Is het wellicht beter te verklaren aan de hand van de Broglie wavelength?

Eigenlijk zou ik mijn vraag kunnen herformuleren als waarom is de De de Broglie-golflengte theoretisch geldig is voor alle objecten, inclusief macroscopische voorwerpen.

Ik snap wel dat
(1) Golflengten die kleiner zijn dan de grootte van atomen geen waarneembare invloed hebben op de fysieke eigenschappen van macroscopische objecten hebben.
(2) Voor macroscopische objecten interferentie onwaarschijnlijk wordt, omdat de bijbehorende golflengtes te klein zijn om meetbare effecten te veroorzaken en
(3) Macroscopische objecten thermische bewegingen hebben en veel interne interacties die de coherentie van golfeigenschappen vernietigen.

Moet ik het feit dat de de Broglie-golflengte geldig is voor macroscopische objecten beschouwen als een postulaat?
Ik vind dat heel moeilijk om te accepteren. Als je deeltjes samen gaat nemen (het moet geen volledige voetbal zijn een paar deeltjes is ook goed voor de redenering), moet je alle interacties in rekening gaan brengen (die allemaal invloed hebben op posities en impulsen) en toevallig blijft de formule voor de Broglie golflengte standhouden.

[OOOVincentOOO]

Ik weet te weinig om antwoord te geven. Maar in de link word de Broglie berekend en uitgelegd voor 3 objecten basketbal tot electron. Heb jij de link al bekeken van phys.libretext?

[wnvl1]

Ik heb phys.libretext gelezen. De de Broglie golflengte wordt er berekend voor 3 objecten van basketbal tot electron, maar er worden geen interacties meegenomen. Ik zoek nog verder.

[OOOVincentOOO]

Is het niet zo dat:
Voor een macroscopisch effect: de buitenste elektronen zijn verantwoordelijk voor de binding binnen volume basketbal? De binnenste elektronen gedragen zicht als gewoonlijk "wolk" maar hebben geen effect op macroscopische wereld?

Dus volgens mij kun je drie metingen/interacties hebben:

• Kijken als waarnemer naar de bal en macroscopische snelheid.

• Kijkende naar interactie gebied op grens bal en buitenlucht.

• In de bal zittende als waarnemer (indien het een massieve bal is).

Volgens mij:
Het enigste quantum effect macroscopisch waarneembaar is de kleur van de basketbal.

Op physics forum vergelijkbare vraag:
https://www.physicsforums.com/threads/m ... e_vignette

De Broglie wavethength is very approximate tool. The quantum function of large (heavy) object can be visualized as "pinned" (i.e. constrained) by each particle, with each pinning "rigidity" proportional to particle impulse, producing something resembling wavelet. De Broglie wavethength is approximation for the total wavelet size when it is much larger than distance between individual particles. At higher impulses, large object is better described as just sum of wavefunctions of constituent particles.

[OOOVincentOOO]

De onderstaande is beter. Het lijkt erop dat de "density matrix" gebruikt word voor assemblage aan quantum objecten.

physics.stackexchange: Is it wrong to talk about wave functions of macroscopic bodies?
https://physics.stackexchange.com/quest ... pic-bodies

The difference with a random object, like a table, is that the individual wave functions of the microcosm of molecules and atoms that compose them are incoherent with each other. Coherence means that all the phases of the probability wave functions of the ~10^23 molecules per mole composing them are lost statistically, in contrast with the examples of coherence above. That is why we use the density matrix to describe the behavior of such systems.

Dus het lijkt erop dat men de "density matrix" gebruikt voor grotere (ensemble) objecten. Dit artikel geeft meer informatie: Wiki: Density Matrix. Ik begeef mij qua kennis op glad ijs en is compleet buiten mijn kennis niveau echte spierballen wiskunde.

In quantum mechanics, a density matrix (or density operator) is a matrix that describes an ensemble[1] of physical systems as quantum states (even if the ensemble contains only one system). It allows for the calculation of the probabilities of the outcomes of any measurements performed upon the systems of the ensemble using the Born rule.

[wnvl1]

Op physics forum vergelijkbare vraag:
https://www.physicsforums.com/threads/m ... e_vignette

De Broglie wavethength is very approximate tool. The quantum function of large (heavy) object can be visualized as "pinned" (i.e. constrained) by each particle, with each pinning "rigidity" proportional to particle impulse, producing something resembling wavelet. De Broglie wavethength is approximation for the total wavelet size when it is much larger than distance between individual particles. At higher impulses, large object is better described as just sum of wavefunctions of constituent particles.

Interessante quote. Dat is dus eigenlijk wat ik beter wil begrijpen. Helaas zijn er geen verdere referenties.

[wnvl1]

De onderstaande is beter. Het lijkt erop dat de "density matrix" gebruikt word voor assemblage aan quantum objecten.

De dichtheidsmatrix is mij wel gekend. Je kan de Schrodingervergelijking herschrijven in functie van de dichtheidsmatrix. Het is vooral handig om om te gaan met decoherentie en om het verschil te maken tussen zuivere en gemengde toestanden. Ik ben eigenlijk vooral geïnteresseerd in het geval waar er geen decoherentie is door de omgeving.