n! als een som van termen

[Regor]

Is er een algemene formule voor elk natuurlijk getal n! uitgedrukt in een bepaald aantal termen, namelijk (n+1) termen, gebruik makende van willekeurige (n+1) dalende gehele getallen in de macht n

vb: voor n = 3

3! = 1(4)^3 - 3 (3)^3 + 3(2)^3 - 1(1)^3

maar ook

3! = 1(5)^3 - 3(4)^3 + 3(3)^3 - 1(2)^3

De cijfers / getallen voor de haakjes zijn specifiek voor een bepaalde macht n
Natuurlijk is n! gemakkelijker uit te rekenen als produkt.

[Regor]

Wat ik bedoel ...in oude notatie....... inclusief de verschuiving van "upper" en "lower" indices.

0 1 2
n! = C (n+1)^n - C (n-1)^n + C (n-2)^n .................. (n+1) termen
n n n

maar ook:

0 1 2
n! = C (a)^n. - C (a-1)^n + C (a-2) ^n .....................(n+1) termen
n n n

Voor eender welke gehele waarden van a

Klopt deze formule ?
Zo ja, hoe ziet ze eruit in moderne Latex notatie ?

[RedCat]

Klopt, zie https://arxiv.org/pdf/math/0406086:

\(\displaystyle \sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}(x-i)^n = n!\)

Jouw voorbeeld met \(x=5\) en \(n=3\):

\(\displaystyle \sum_{i=0}^3(-1)^i\binom{3}{i}(5-i)^3 \)

\( = \binom{3}{0}(5-0)^3 -\binom{3}{1}(5-1)^3+\binom{3}{2}(5-2)^3 - \binom{3}{3}(5-3)^3\)

\(= 1\cdot 5^3 - 3\cdot 4^3 + 3\cdot 3^3 - 1\cdot 2^3 = 6 = 3!\)


PS: handig om jezelf de LaTeX-codes eigen te maken:
Als je de rechter muis boven op een LaTeX code klikt, dan verschijnt een pop-up met optie "Wiskunde weergeven als".
Als je vervolgens in het submenu daarvan klikt op Tex-commando's zie je de codes van de betreffende formule.