Bal op de top van een koepel rolt niet naar beneden.

[Nesciyolo]

Ik schrijf dit in reactie op een video op Youtube die ik net bekeek.

In de video wordt beweerd dat een bal op de top van een koepel in rust is als er verder geen kracht op werkt. Dat lijkt me logisch volgens Newton.
Nu is er ene John Norton die in 2008 een paper heeft gepubliceerd waarin hij zegt dat dat niet klopt. Want als je de rolbeweging terug zou draaien door het balletje met precies de juiste snelheid naar boven te schieten zodat het precies op de top stopt dan moet dat ook de andere kant op werken.

Dit is de reactie die ik oder de video heb geschreven (in het engels):

If we disregard friction in rolling the ball up ("back in time" at 5:00 in the video) On the top the ball will not slow down or speed up because it is horizontal and there is no force working on it. So I would say the ball can stop infinitely close to the top but not exactly on the top.
And of course if you would reverse the time reversal that makes sense: On he top the ball is in rest. It doesn't roll down. So in reverse time it can't roll up and exactly stop there.

Super simpel. Wat denken jullie? Maak ik een denkfout? Tot nu toe heeft niemand zijn beweringen kunnen weerleggen volgens de video.

[Professor Puntje]

Daar hebben we het op het oude Wetenschapsforum al eens over gehad...

Met de zoekfunctie kun je er nog een en ander over terugvinden.

[HansH]

ik kan hier niets over vinden, maar ik ben dan ook slecht in zoeken. Bij mij kost opnieuw het wiel uitvinden vaak minder tijd.
Waar het denk ik op neer komt is of de top van de koepel exact horizontaal loopt en daarna de helling monotoon stijgend toeneemt. De oorzaak van beweging (zonder wrijving neem ik aan in dit geval) is immers versnelling. vanaf snelheid=0 rijg je versnelling zodra er een helling is naar beneden. Maar bij een ideale koepel is die helling 0, maar op een oneindig kleine afstand van de top niet meer 0. Het gaat dus om het allereerste stukje.

[Professor Puntje]

Ben nu de video aan het kijken. Die is heel goed! Ik betwijfel of we de oude discussie op het Wetenschapsforum zelfs nog nodig hebben om te begrijpen wat hier aan de hand is. Ik ga de video nu eerst even uitkijken.

[HansH]

zonder nog even de video bekeken te hebben: essentieel is denk ik de helling als functie van de afstand tot de top helling=dy/dx en de afgeleide van de helling dus hoe snel de helling verandert als functie van x. als de afgeleide van de helling 0 is en de helling op de top is ook 0 dan is de helling dus 0 op een willekeurig kleine afstand van de top en blijft de bal dus liggen volgens mij. als afgeleide van de helling op de top groter is dan 0 dan is op een willekeurig kleine afstand tot de top er dus ook een versnelling en dus gaat de bal altijd rollen alleen in het begin welliswaar met een oneindig kleine versnelling maar wel altijd een versnelling groter dan 0.

[Professor Puntje]

OK - ik heb de video uitgekeken. Het gaat erom dat in het geïdealiseerde geval van Nortons koepel de bal op de top van de koepel op een willekeurig moment zal gaan rollen, en dat dat moment waarop de bal begint te rollen niet vanuit Newtons wetten berekend kan worden. Het vaak veronderstelde determinisme van Newtons mechanica waarin alles dat volgt door de beginvoorwaarden vast ligt klopt dus niet. De uitvluchten die zijn bedacht om dit feit niet onder ogen te hoeven zien komen ook nog even langs. Kijk die video!

[Professor Puntje]

Dit is de reactie die ik oder de video heb geschreven (in het engels):

If we disregard friction in rolling the ball up ("back in time" at 5:00 in the video) On the top the ball will not slow down or speed up because it is horizontal and there is no force working on it. So I would say the ball can stop infinitely close to the top but not exactly on the top.
And of course if you would reverse the time reversal that makes sense: On he top the ball is in rest. It doesn't roll down. So in reverse time it can't roll up and exactly stop there.

Super simpel. Wat denken jullie? Maak ik een denkfout? Tot nu toe heeft niemand zijn beweringen kunnen weerleggen volgens de video.

Dat zal dan in elk geval een aanpassing van de klassieke mechanica vereisen want daarin komen (behalve als vermijdbaar rekenhulpje) geen infinitesimale grootheden voor.

[Nesciyolo]

Dat zal dan in elk geval een aanpassing van de klassieke mechanica vereisen want daarin komen (behalve als vermijdbaar rekenhulpje) geen infinitesimale grootheden voor.

Als de bal naar beneden rolt is er een versnelling op elk punt op de koepel. Op de top is die versnelling 0. Daarom gaat de bal niet rollen.
Als de bal omhoog rolt is er op elk punt op de koepel diezelfde versnelling maar negatief.
Op de top kan de bal niet versnellen en ook niet vertragen.
Om die reden kan in dit systeem de bal niet gaan rollen op de top en ook niet tot stilstand komen.

[Professor Puntje]

Wat voor snelheid en versnelling heeft een voorwerp op het moment van in beweging komen. Kunnen de snelheid en versnelling op dat moment dan beide nul zijn? En moet er wel altijd zo'n moment van in beweging komen zijn als een voorwerp in beweging komt?

[HansH]

Ik heb het filmpje inmiddels ook gezien. Het gaat om het laatste moment waarop het balletje nog niet rolt. op dat moment is de snelheid 0 en de versnelling is ook 0, dus zou je zeggen dat het balletje dan nooit gaat rollen. dan komt het moment t=0+deltat waarbij delta naar 0 nadert waarop het balletje begint te rollen en ook nog eens in een voorkeurs richting omdat het in feite alle kanten op kan beginnen met rollen. om dan daarna het bekende deterministische pad te gaan volgen. Daar hoeft denk ik geen discussie over te zijn. De discussie gaat denk ik over het laatste moment dat het balletje nog niet rolt. Volgens mij kom je er dan niet onderuit door aan te nemen dat er een oneindig kleine initiele impuls nodig is in de voorkeursrichting waarin het balletje gaat rollen. veel moeilijker dan dat is het denk ik niet.

omgekeerd wordt ook aangegeven dat het balletje vanaf beneden met precies de juiste snelheid dan weer op het punt aankomt waarbij het stil ligt. Dus dat daaruit dan zou volgen dat het balletje altijd vanzelf gaat rollen. Dat 2e klopt denk ik niet omdat het balletje met de juiste duw vanaf beneden eindigt in het punt waarbij het begon met rollen. echter dat duurt dan oneindig lang om daar te komen. theoretisch gesproken komt het balletje dan nooit op het punt waarop het echt stil komt te liggen want dan zou dan op t=oneindig zijn dus nooit bereikt worden.

en dat geeft dan ook weer aan waarom je niet over het moment moment t=0 kunt spreken, maar hooguit over de positie x=0 omdat het oneindg lang duurt om dan x=0 weg te komen, dus ook oneindig lang duurt om er weer terug te komen.

[HansH]

Om die reden kan in dit systeem de bal niet gaan rollen op de top en ook niet tot stilstand komen.

Dat 2e klopt denk ik niet. de bal kan wel tot stilstand komen op de top, alleen moet je daar 2 dingen voor doen:
1) de richting van de snelheid moet oneindig naukeurig in de richting van de top wijzen
2) de snelheid die het balletje beneden heeft moet oneindig nauwkeurig precied die waarde hebben op op de top te komen met kinetische energie =0

[Professor Puntje]

Er is geen duwtje nodig want het balletje kan op een willekeurig moment beginnen met rollen. Dat laat de berekening zien. Als je beweert dat er wel een duwtje nodig is, stel je eigenlijk een alternatief voor de Newtons wetten voor. Maar Nortons argument gaat niet over alternatieven voor Newtons wetten.

[HansH]

Wat voor snelheid en versnelling heeft een voorwerp op het moment van in beweging komen. Kunnen de snelheid en versnelling op dat moment dan beide nul zijn? En moet er wel altijd zo'n moment van in beweging komen zijn als een voorwerp in beweging komt?

dan moet je denk ik kijken naar snelheid, versnelling afgeleide van de versnelling enzovoort.
als de snelheid 0 is en de versnelling is 0 maar de afgeleide van de versnelling is niet 0 dan gaat de versnelling dus toenemen vanaf versnelling=0 dus gaat het toch bewegen. Als de afgeleide van de versnelling ook 0 is maar de 2e afgeleide niet dan gaat het toch rollen. dus in het algemeen vermoed ik dat het balletje gaat rollen als de nde afgeleide van de versnelling niet 0 is.

[HansH]

Er is geen duwtje nodig want het balletje kan op een willekeurig moment beginnen met rollen. Dat laat de berekening zien.

volgens mij laat de berekening alleen zien vanaf het moment dat het balletje begint met rollen. Dat is dus nadat het duwtje gegeven is. welliswaar een oneindig klein duwtje, dus dat mag je dan ook opvatten als duwtje=0. maar het moet volgens mij wel een duwtje zijn met een richting waarin het balletje moet gaan rollen. dus de richting informatie is niet oneindig klein.

[Professor Puntje]

Nee - dat is niet juist. Het argument van Norton gaat over de mechanica van Newton, en als je die wetten gebruikt volgt er dat het balletje op een willekeurig moment kan beginnen met rollen. De bewegingsvergelijkingen met beginvoorwaarden leiden in het geval van Nortons koepel met balletje immers tot meerdere oplossingen zonder dat duidelijk is welke "de echte" is. Dat wordt in de video allemaal duidelijk uitgelegd.