Bal op de top van een koepel rolt niet naar beneden.

[HansH]

Als er geen Lipschitz-continuïteit is, dan heeft het initiële-waardenprobleem:

\[
\frac{dy}{dx} = f(x, y), \quad y(x_0) = y_0,
\]

niet noodzakelijk een unieke oplossing. Vertaald naar de dome: een oplossing is dat de bal blijft liggen en een andere is dat hij eraf rolt. Zo bekeken dus geen determinisme.

Ik kan dit niet volgen. ook wat je aan theroretische links geeft kan ik niet volgen. Wat heeft continuiteit met unieke oplossingen te maken. ik zie het puur als zijnde 2 gebieden een gebied bestaat uit slecht 1 punt r=0 en daar is de vraag welke differentiaalvergelijking daar geldt en de 2e oplossing is de vergelijking met de 4e macht.

[wnvl1]

Het fysisch probleem van de dome, kan vertaald worden naar een differentiaalvergelijking, meer in het bijzonder een initiële-waardenprobleem. Nu blijkt dat als die f uit dat initiële-waarden probleem rond een punt \(x_0\) niet Lipschitz-continu is (in dit geval is \(x_0\) de top van de dome), er meerdere oplossingen zijn in dat gebied. Als je wil weten waarom dat zo is, dan moet je wel de bewijzen van die wiskundige stellingen gaan bestuderen en daar evt. vragen over stellen, anders moet je het aannemen.

[HansH]

qua wiskunde zullen er misschien meerdere oplossingen zijn, maar is nutteloos voor de praktijk. ik heb eigenlijk niet zoveel behoefte om daar verder in te duiken. ik ga er even vanuit dat de 2e afgeleide van de versnelling discontinue is en op basis daarvan denk ik te begrijpen wat er gebeurt en kan ik ook simuleren zoals ik heb laten zien. het moment waarop de 2e afgeleide van de versnelling daadwerkelijk verandert is toch nooit helder te krijgen volgens mij n al helemaal niet de reden waarom dat zou gebeuren.

[HansH]

Misschien nog ten overvloede: het balletje mag geen balletje zijn maar moet een puntmassa zijn zoals ook aangegeven in de publicatie van Norton. Alleen dan kun je met de gegeven dome vorm het beschreven gedrag krijgen. Met een balletje met straal > 0 zoals in het filmpje krijg je een ander verband tussen versnelling en afstand tot de top omdat dan ok nog de hoek tussen zwaartepunt van het balletje en raakpunt met de dome-curve in de versnelling=F(r) komt en zal het wel Lipschitz-continu zijn maar lijkt het meer op een omgekeerde slinger.

omgekeerde slingers zijn instabiel (vallen weg uit de evenwichtspositie) maar kun je elektronisch bijregelen. (vergelijkbaar met een stok die je verticaal houdt op je vinger door de onderkant steeds te verplaatsen zodat de stok verticaal blijft)

Dat zelfde zou je met de Norton dome kunnen doen door de hele dome steeds zodanig te verplaatsen dat het balletje (= puntmassa) steeds op de top blijft. omdat er op de top geen krachten zijn zou je de dome in evenwicht dan alleen steeds een stukje hoeven te verplaatsen op het moment dat t>T wordt en het balletje begint met versnellen. Dat kun je dan als je snel bent met een vrijwel oneindig kleine correctie weer teniet doen door de dome in dezelfde richting te versnellen met dezelfde versnelling als het balletje. Daarmee leg je dan het balletje weer terug op de top zonder het balletje zelf aan te raken. elektronisch kun je dat doen met een positiesensor die de positie van het balletje meet tov de positie van de top en dan de positie van de dome daarop aanpast.

[wnvl1]

Ik zou denken dat je voor een balletje op een Dome een differentiaal vergelijking krijgt die hetzelfde is van vorm. Ik zie niet direct in waarom hetzelfde verhaal niet van toepassing zou zijn.

[Professor Puntje]

Wat de reacties in dit topic vooral bewijzen is hoe hardnekkig veel mensen vasthouden aan traditionele opvattingen en persoonlijke intuïties zelfs wanneer de onjuistheid daarvan duidelijk voor ze wordt uiteengezet. Zelfs binnen de wetenschap. Zaken met een frisse blik bekijken is moeilijk. Dat lukt maar weinigen. En mijzelf ook nog niet altijd, hoewel ik mijn best doe. Een ontnuchterende conclusie.

[HansH]

Ik zou denken dat je voor een balletje op een Dome een differentiaal vergelijking krijgt die hetzelfde is van vorm. Ik zie niet direct in waarom hetzelfde verhaal niet van toepassing zou zijn.

volgens mij omdat het gaat om het pad wat het zwaartepunt van het balletje volgt en dat heeft een andere vorm dan die van de dome

je zou dan de vorm van de dome aan moeten passen zodat het zwaartepunt dan de originele curve van de dome kan volgen.

[HansH]

zo zou de vorm er dan uit zien: balletje volgt de binnenkant van de dome vorm en de benodigde curve gaat dan door het zwaartepunt van het balletje.

[HansH]

dat klopt niet, moet zijn : zwaartepunt van het

balletje volgt de oorspronkelijke curve:

[Professor Puntje]

Inderdaad, zoals je laatste tekening. Overigens is het niet gezegd dat Nortons bewijs voor een balletje op zijn koepel niet meer zou werken, dat zou je dan voor het pad van het zwaartepunt opnieuw moeten berekenen.

[HansH]

Wat de reacties in dit topic vooral bewijzen is hoe hardnekkig veel mensen vasthouden aan traditionele opvattingen en persoonlijke intuïties zelfs wanneer de onjuistheid daarvan duidelijk voor ze wordt uiteengezet. Zelfs binnen de wetenschap. Zaken met een frisse blik bekijken is moeilijk. Dat lukt maar weinigen. En mijzelf ook nog niet altijd, hoewel ik mijn best doe. Een ontnuchterende conclusie.

Ik denk dat je dat wel erg pessimistisch voorstelt. ik zie het anders: persoonlijke intuities is de start om de discussie los te krijgen met als doel om te komen tot hoe het echt zit. als je echt wilt dat mensen het begrijpen dan is het beste om de essentiele zaken samen te vatten evt met bewijzen in bijlagen. (bv in dit geval waarom je meerdere oplossingen hebt en waarom je dan op t=T ineens over gaat naar een andre oplossing)

Meeste mensen willen namelijk graag dingen snappen maar niet heel veel moeite doen om alles zelf uit te spitten, want dan hadden ze immers wel de betreffende studie gedaan als opleiding. Dus daar kunnen mensen met voldoende bagage bij helpen. Maar als je daar over in het topic gaat discussieren werkt ook dat weer vervuilend, dus ook daar dan even een nieuw topic over aanmaken.

[Professor Puntje]

In de video wordt het al keurig uitgelegd, zonder al te veel wiskunde. Simpeler kan niet. Verder valt er ook niet veel aan te begrijpen: als je de situatie op basis van Newtons wetten modelleert krijg je een differentiaalvergelijking. En voor de beginsituatie van een puntmassa in rust op de top zijn er dan meerdere oplossingen, wat door invullen van die oplossingen in de differentiaalvergelijking eenvoudig is te controleren. Dus is ook de klassieke mechanica voor het speciale geval van Nortons koepel indeterministisch. Simpeler kunnen we het niet maken. Of Nortons koepel of een vergelijkbare situatie ooit praktische toepassingen zal krijgen kunnen we nu nog niet weten. Misschien wel of misschien ook niet. Maar dat doet er hier niet toe.

[HansH]

punt is wel dat de gecorrigeerde dome alleen te maken is tot een maximale grootte van het balletje. de lijntje hieronder mogen elkaar niet kruisen en dat gebeurt wel boven een bepaalde diameter van het balletje.

[flappelap]

Wat de reacties in dit topic vooral bewijzen is hoe hardnekkig veel mensen vasthouden aan traditionele opvattingen en persoonlijke intuïties zelfs wanneer de onjuistheid daarvan duidelijk voor ze wordt uiteengezet. Zelfs binnen de wetenschap. Zaken met een frisse blik bekijken is moeilijk. Dat lukt maar weinigen. En mijzelf ook nog niet altijd, hoewel ik mijn best doe. Een ontnuchterende conclusie.

Wat volgens mij Nortons dome aantoont is dat het gebruikelijke idee van causaliteit in de klassieke mechanica tekortschiet: je hebt er blijkbaar meer structuur voor nodig, zoals Lipschitz continuïteit.

Het probleem zal zich waarschijnlijk ook voordoen in relativistische veldentheorie, maar daar heb ik nog geen expliciet voorbeeld van gezien.

[Professor Puntje]

Wat de reacties in dit topic vooral bewijzen is hoe hardnekkig veel mensen vasthouden aan traditionele opvattingen en persoonlijke intuïties zelfs wanneer de onjuistheid daarvan duidelijk voor ze wordt uiteengezet. Zelfs binnen de wetenschap. Zaken met een frisse blik bekijken is moeilijk. Dat lukt maar weinigen. En mijzelf ook nog niet altijd, hoewel ik mijn best doe. Een ontnuchterende conclusie.

Wat volgens mij Nortons dome aantoont is dat het gebruikelijke idee van causaliteit in de klassieke mechanica tekortschiet: je hebt er blijkbaar meer structuur voor nodig, zoals Lipschitz continuïteit.

De gedachte om de vorm van Nortons koepel te verbieden waar de eis van Lipschitz continuïteit op neer komt lijkt mij een zwaktebod. Dan kun je lijkt mij de klassieke mechanica beter wat uitbreiden om het determinisme te herstellen.

Het probleem zal zich waarschijnlijk ook voordoen in relativistische veldentheorie, maar daar heb ik nog geen expliciet voorbeeld van gezien.

Daar weet ik zo goed als niets vanaf en heb ik ook geen mening over.

Wat ik mij nog wel afvraag is of er ook een variant van Nortons koepel denkbaar is die (volgens de klassieke mechanica) ook in de praktijk zou moeten werken zonder dat de gebruikte proefopstelling met absolute (en dus onhaalbare) precisie hoeft te kloppen.