afbuiging licht rond zware objecten via grondbeginselen relativiteitstheorie

[wnvl1]

OK, dan mag ik de mapping

$$r_{Minkowski} := \sqrt{\int_0^{r_{Schwarzschild}} \frac {1} {1 - 2M/r} dr^2}$$
$$t_{Minkowski} := \sqrt{\int_0^{t_{Schwarzschild}} (1 - 2M/r) dt^2}$$

gebruiken voor radiale afstand en tijd.

Als ik die mapping consistent toepas op mijn coördinaten en snelheden in de Schwarschildmetriek, kom ik op elk punt in mijn coördinatenstelsel met Minkowski metriek waarden uit die mij toelaten om de theorie van Newton wat aan te passen zodat hert allemaal klopt met de oplossing in Schwarzschild metriek. Lijnlengtes tussen A en B in Schwarzschildmetriek en Minkowski metriek blijven na zorgvuldige mapping van alle tussenliggende punten op de wereldlijn behouden.

Blijven hoeken ook behouden na bovenstaande mapping?

[flappelap]

Ik snap nog steeds niet zo goed wat je wilt doen en wat die kwadraten bovendien in de maten onder de integraal aangeven. Maar als je coördinatentransformaties zoekt die je lokaal van de Schwarzschild-metriek naar de Minkowskimetriek brengen: dat zijn de eerdergenoemde tetrads/vielbeine/vierbeine, die op een lokale Lorentztransformatie na uniek gedefinieerd zijn. Er geldt immers per definitie dat

\(e_{\mu}{}^a e_{\nu}{}^b \eta_{ab} = g_{\mu\nu}\)

En om je vraag te beantwoorden: ja, je hoeken blijven volgens mij invariant na bovenstaande transformaties.

[HansH]

In het algemeen is er wel geen behoud van energie in de ART.

dat heb ik vaker gehoord inderdaad. maar de totale energie in het heelal moet toch wel behouden blijven?
dus waar blijft die energie dan? of gaat die energie in de ruimtetijd zitten?

[wnvl1]

Behoud van energie vloeit voort uit de tijdtranslatiesymmetrie (stelling van Noether). Deze symmetrie wordt geschonden door een uitdijende heelal, dus er is geen reden waarom energie behouden zou moeten blijven. Waar de extra energie naartoe gaat of vandaan komt, is dan ook niet relevant. Alleen in gevallen van asymptotisch vlakke ruimte tijd kan je in sommige gevallen spreken van een behoud van energie. De Schwarzschild oplossing hoort daarbij.

[wnvl1]

Ik snap nog steeds niet zo goed wat je wilt doen en wat die kwadraten bovendien in de maten onder de integraal aangeven.

Zo zal beter zijn.

$$r_{Minkowski} := \int_0^{r_{Schwarzschild}} \sqrt{ \frac {1} {1 - 2M/r}} dr$$
$$t_{Minkowski} := \int_0^{t_{Schwarzschild}} \sqrt{(1 - 2M/r) } dt$$

Ik snap wel het concept van de tetrads. Je schakelt over naar een orthonormale basis. Het is zoiets als een Gram-Schmidt orthogonalisatie in klassieke algebra.Je kan dat voor elk event in de ruimtetijd uitvoeren. Op elk punt kan je daarmee van basis veranderen. Achterliggende fysische gedachte is, lokaal kan je altijd een vlakke ruimte invoeren. Het achterliggend wiskundig proces heb ik ook ooit doorlopen.

Maar op een bepaald moment moet ik voor een specifiek event ook een link kunnen leggen tussen mijn coördinaten \((t_{Schwarzschild}, r_{Schwarzschild}, \theta_{Schwarzschild}, \phi_{Schwarzschild})\) en mijn coördinaten in mijn vlakke globale ruimte \((t_{Minkowski}, r_{Minkowski}, \theta_{Minkowski}, \phi_{Minkowski})\). Het is die laatste vlakke ruimte die je nodig hebt om de ART te beschrijven via een aangepaste Newtoniaanse fysica. Uiteraard moeten er dan pseudo krachten ingevoerd worden.

Kan ik dan de formule hierboven gebruiken om de link te leggen tussen beide coördinaten?

Op zich is Newton aanpassen niet speciaal mijn ambitie, maar ik wil iets beter begrijpen hoe ik ART kan linken aan ons Newtoniaans dagdagelijks wereldbeeld.

[flappelap]

Ik snap nog steeds niet waarom je dit wilt doen. In de Newtonse limiet wordt de ruimte immers effectief vlak (omdat vanwege de lage snelheid alle kromming van de ruimte hogere orde wordt), waarmee je effectief t en r globaal als fysieke afstanden kunt interpreteren. Ik snap dus niet zo goed wat je exact bedoelt met "aangepaste Newtoniaanse fysica" anders dan de gebruikelijke Newtonse limiet van de ART. Of probeer je een post-Newtonse expansie te beschrijven, zoals hier:

https://en.wikipedia.org/wiki/Post-Newtonian_expansion

?

Maar goed, je uitdrukkingen hierboven zijn inderdaad de fysieke tijdsduren en radiële lengtes die een waarnemer zou meten met een klok en meetlat in een Schwarzschild-achtergrond. Die eerste uitdrukking is echter een nogal nare integraal met logaritmen erin (die tweede is uiteraard eenvoudig).

[flappelap]

Ben je hier naar op zoek?

[wnvl1]

Of probeer je een post-Newtonse expansie te beschrijven, zoals hier:

https://en.wikipedia.org/wiki/Post-Newtonian_expansion

?

Dat is wat ik bedoel, ik ben echter niet altijd even vertrouwd met het jargon. Het was ook al weer even geleden dat ik nog eens ART gedaan heb. Ik was nu wat meer aan het concentreren op QFT.

[wnvl1]

Wat ik bedoelde correspondeert eigenlijk een beetje met wat Schutz doet op p292 waar hij spreekt over isotrope coördinaten.

Voor grote waarden r vereenvoudigt hij de transformatie wel naar \(\bar{r}=r-M\) in vergelijking (11.46). Zijn \(\bar{r}\) correspondeert dan min of meer (niet helemaal want hij gaat niet naar de Minkowski metriek maar het scheelt niet veel) met mijn \(r_{Minkowski}\) en zijn \(r\) met de \(r_{Schwarschild}\). Zo herschrijft hij de Schwarzschild metriek naar de vorm (11.43) van de gelineariseerde Newtoniaanse verre velden metriek.

[HansH]

kunnen we voordat we het gaan simuleren al uit de formules nu zien wat de perihelium precessie van mercurius veroorzaakt?

[wnvl1]

Het hangt ervan af wat je wil doen. De eenvoudigste oplossing voor de baan van mercurius is vertrekken van de Schwarzschild metriek en dan de baan berekenen met behoud van impuls en energie zoals dat bvb gebeurt is Schutz (staat overal online op het internet). Deze berekeining maakt de perihelium verschuiving wel plausibel.

Je hebt ook de berekening van Einstein die het principe van Huyghens erbij gaat betrekken. Dat vergt heel wat tijd om die te doorgronden, en op het einde van de berekening ga je ook de draad kwijt zijn. Ik heb dat niet helemaal doorlopen.

Wat je kan doen om enige praktische voeling te verkrijgen is vertrekken van de EinsteinPy code en daar wat mee experimenteren.

https://docs.einsteinpy.org/en/stable/e ... etime.html

De code staat hierboven helemaal klaar. Je kan daarna een keer proberen met een Schwarzschild metriek waarbij de kromming van tijd is weggelaten en een waarbij de kromming van ruimte is weggelaten. Fysich is dat natuurlijk fout, maar dat kan mogelijk enige voeling geven met wat het effect is van ruimtekromming en tijdkromming.

[HansH]

Dit topic van inmiddels 33 pagina's heeft voor mijn nog niet het gewenste begrip vanuit de grondbeginselen opgeleverd mbt de afbuiging van het licht die dubbel is tov het equivalentieprincipe . Echter vandaag kwam ik toevallig een video tegen die misschien meer zegt dan die 30 pagina's ervoor:

kortgezegd loopt de tijd trager vlak bij een zware massa. als je nu een cirkel maakt met spiegels en het licht via spiegeltjes ook een cirkel laat doorlopen dan duurt het dus een bepaalde tijd voor het licht om 1 x de cirkel te doorlopen. als je nu die cirkel dichter bij de zware massa zet dan wordt die groter omdat het licht er langer over doet om een rondje te maken. dus daaruit zou dan blijken dat de ruimte vlak bij de massa is uitgerekt. helemaal snappen doe ik het nog niet, maar de vraag is dus of je op basis dan zulk soort redenaties kunt laten zen hoe je aan de extra afbuiging komt van een lichtstraal tov alleen het equivalentieprincipe. (onder direct te verwijzen naar de eindformules van de ART, want dat geeft immers weinig tot geen inzicht in de achtergrond)

[HansH]

kortgezegd loopt de tijd trager vlak bij een zware massa. als je nu een cirkel maakt met spiegels en het licht via spiegeltjes ook een cirkel laat doorlopen dan duurt het dus een bepaalde tijd voor het licht om 1 x de cirkel te doorlopen. als je nu die cirkel dichter bij de zware massa zet dan wordt die groter omdat het licht er langer over doet om een rondje te maken. dus daaruit zou dan blijken dat de ruimte vlak bij de massa is uitgerekt.

Het punt waar ik nog mee zit is de vraag of je vanuit een punt verder weg van de zware massa kijkend naar de zware massa het licht ziet verplaatsen met c of niet. als het met c verplaatst dan kan het niet anders dan dat de cirkel die je ziet groter is omdat de tijd immers langzamer loopt, dus met dezelfde snelheid er langer over doen betekent dan automatisch een grotere cirkel dus kromming van de ruimte.

maar ik begreep ook dat je kijkend richting een zware massa ook het licht langzamer ziet voortplanten dan c. Dus dat moet eerst helder zijn wat het is (en waarom).

[wnvl1]

De Schwarzschild-metriek rond een zware massa in natuurlijke eenheden (\(c=G=1\)) wordt gegeven door:

\[
ds^2 = -\left(1 - \frac{2M}{r}\right)dt^2 + \left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta \, d\phi^2,
\]

Als je een cirkel rondom een zwart gat beschouwt met een gegeven Schwarzschild-radiaal \(r\), dan kun je de omtrek altijd berekenen als \(2\pi r\), ongeacht de krommingseffecten. De radiale afstand tussen dergelijke cirkels is echter fysiek anders door de factor \(\left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1/2}\) die de radiale meetstaaf rekt. Je berekent de omwentelingstijd in jouw experiment door die omtrek te delen door c (hier 1). Dat is de tijd die nodig is om op een bepaalde afstand r het licht een toertje te laten doen rond die massa.