Bal op de top van een koepel rolt niet naar beneden.

[Professor Puntje]

Er is hier ook door anderen al gewezen op het feit dat differentiaalvergelijkingen met beginvoorwaarden soms geen unieke oplossing (maar juist meerdere oplossingen) hebben. Bij de koepel van Norton is dat ook het geval.

De numerieke simulatie van een differentiaalvergelijking met beginvoorwaarden is echter een deterministisch proces. Dus (bij gebruik van dezelfde programmatuur en computer) zal dat steeds hetzelfde resultaat geven. Alleen daaruit kun je al zien dat je de specifieke problematiek van Nortons koepel (d.w.z. het optreden van meerdere mogelijke oplossingen) nooit numeriek zult kunnen reproduceren. Je zult steeds het zelfde resultaat vinden zelfs als er wiskundig gezien meerdere oplossingen bestaan.

Dat is de reden dat je numerieke simulaties hier irrelevant zijn.

[HansH]

Je zult steeds het zelfde resultaat vinden zelfs als er wiskundig gezien meerdere oplossingen bestaan.

ik geloof dat het nu al 20 x gezegd is, dus vallen we weer in herhaling: De wiskunde geeft meerdere oplossingen. Dat zijn dezelfde oplossingen die je ook met discrete simulaties kunt reproduceren zoals ik heb laten zien. Maar de wiskunde voorspelt alleen maar dat je op een willekeurig tijdstip start met een van die oplossingen. dat gebeurt basis van een verandering in een startconditie.
In get voorbeeld van de dome is dat een verandering vanuit 0 van de 2e afgeleide van de versnelling. in het geval van een kegel is dat een verandering in de versnelling.
De wiskunde somt simpelweg alle mogelijkheden op dus alle momenten waarop het mogelijk is om bv de 2e afgeleide van de versnelling te laten starten met afwijken van 0. Maar zegt helemaal niets over wat maakt dat proces start. en als iets nul is kan het niet zonder reden ineens 1 worden. Dat gebeurt in de simulator niet en ook niet als je die simulatie op een andere computer draait of door een andere persoon laat draaien. Maar dat is ook al 20 x gezegd inmiddels. Dus als je het daarmee oneens bent zul je aan moeten geven welk mechanisme in de wiskunde dan het tijdstip kiest.

[Professor Puntje]

Meer misvattingen, dogma's, en irrelevante uitweidingen. Mijn voornemen voor het nieuwe jaar is daarom om niet meer in zulke zinloze "discussies" verzeild te raken. Er zijn hier enkele leden met kennis van zaken die het goede voorbeeld geven. Zij posten wat ze ergens van denken, en laten het daarbij. Door de mindere goden hier wordt dat dan vaak genegeerd of op onzinnige gronden tegengesproken. Maar zij laten zich er niet toe verleiden om de discussie aan te gaan met mensen die blind hun eigen vooroordelen en intuïties blijven volgen, en die het vermogen missen in te zien dat ze het mis hebben zelfs wanneer dat duidelijk aangetoond wordt. Ik zal in het vervolg ook niet meer uitleggen waarom ik het vaak bij een of twee posts per topic zal laten. Want dat is maar een opstapje om toch weer verder te discussiëren. Alleen wanneer zich een duidelijke mogelijkheid aandient voor een zinvolle discussie zal ik er nog tijd en energie in steken. Aldus mijn goede voornemen voor het nieuwe jaar:

Pick your battles. You don't have to show up to every argument you're invited to.

[HansH]

Er zijn hier enkele leden met kennis van zaken die het goede voorbeeld geven. Zij posten wat ze ergens van denken, en laten het daarbij.

Dat lijkt me inderdaad een goed voornemen. Want deze discussie met jou schiet niet op. Dus ik denk dat ik het qua discussie met jou ook maar even hierbij laat. Maar laat anderen gerust aangeven wat ze ervan denken voor zover er nog iets nieuws te melden is.

[HansH]

Er zijn hier enkele leden met kennis van zaken die het goede voorbeeld geven. Zij posten wat ze ergens van denken, en laten het daarbij.

je bedoelt denk ik Xilvo die aangaf dat er geen speld tussen mijn redenatie te krijgen is?

[HansH]

Hier het antwoord van prof. Norton zelf:

Thank you for your interest in the dome.

The choice among the different futures involves more than just one bit of information. The mass can slide off in any direction. A choice has to be made among all angles from 0 to 360 degrees. A choice has to be made also over the time of spontaneous motion (T), which can be anywhere from zero time to infinity.

You wonder whether the indeterminism is a result of some unphysical, mathematical artifact. Right? Specifically, might they be discontinuities in the higher order derivatives?

The problem then is to determine how we separate proper solutions from improper ones that are merely mathematical artifacts.

The difficulty is that we need some standard or some criterion to guide us in making the separation. As I think you mentioned somewhere, experiment cannot guide us. The dome system cannot be implemented physically since quantum mechanical considerations preclude it. The dome arises within a formulation of Newtonian mechanics. I don’t see that there is any unique way to pick out the “right” formulation. Recall that Newtonian theory is a false theory physically.

The formulation I used in my paper is just that any motion is allowed if it conforms with Newton’s equations and uses the familiar entities and idealizations. In this common formulation, there is no prohibition on discontinuities in higher order derivatives. A text book example is a point mass sliding over a flat table top and coming to a sharp edge and then falling in a parabola. The table edge and the motion have discontinuities in lower order derivatives than the dome example.

Is that the “right” formulation of Newtonian mechanics. I don’t think that there is any objective criterion that helps us decide.

These last remarks are just a fragment of issues I discussed at greater length in my 2008 paper. (The original proposal was actually in a 2003 paper.)

If this example interests you, you might like to know that, if we deal with systems with infinitely many degrees of freedom, indeterminism becomes generic; and energy and momentum conservation fail. There is already a substantial literature on this topic.

My favorite example is the infinite masses and springs, which is a classical model of a one-dimensional crystal. See, for example, the appendix to

"Approximation and Idealization: Why the Difference Matters" Philosophy of Science, 79 (2012), pp. 207-232.
https://sites.pitt.edu/~jdnorton/homepage/cv.html#L2012

There are many such systems and I’ve incorporated them in my undergraduate teaching. See for example:

"Mechanical Supertasks”
https://sites.pitt.edu/~jdnorton/teachi ... nical.html

See the later part of the chapter that treats collisions among infinitely many bodies. They build to an example of an empty space that instantly fills with rapidly moving bodies.

Hope this helps.
Best
John N.

[HansH]

Dit is de reactie die ik oder de video heb geschreven (in het engels):

If we disregard friction in rolling the ball up ("back in time" at 5:00 in the video) On the top the ball will not slow down or speed up because it is horizontal and there is no force working on it. So I would say the ball can stop infinitely close to the top but not exactly on the top.
And of course if you would reverse the time reversal that makes sense: On he top the ball is in rest. It doesn't roll down. So in reverse time it can't roll up and exactly stop there.

Super simpel. Wat denken jullie? Maak ik een denkfout? Tot nu toe heeft niemand zijn beweringen kunnen weerleggen volgens de video.

ik hb ook een reactie toegevoegd : @hhbrouwstudio3165
'at t=19:42 you say that there is no first instant at which to seek for an initial cause. But if you differentiate the solutions you will see that the second derivative of the acceleration is 0 when the object does not move and is 1/6 if the object moves. so at the moment when the system decides to changeover to the moving solution this is initiated by this second derivative of the acceleration changing from 0 to 1/6. The question however is if you can pint point a rootcause for that. I think you cannot. but on the other hand simulations I did show that it stays forever in the r=0 solution as long as you keep the second derivative of the accelaration 0. so in my case I was the rootcause by changing ths second derivative from 0 to 1/6. But I assume mathematics simply gives all possibilities but does not say anything about a moment in time from one solution to the other.

[wnvl1]

Leuk dat hij antwoordt op je vraag.

The difficulty is that we need some standard or some criterion to guide us in making the separation. As I think you mentioned somewhere, experiment cannot guide us. The dome system cannot be implemented physically since quantum mechanical considerations preclude it. The dome arises within a formulation of Newtonian mechanics. I don’t see that there is any unique way to pick out the “right” formulation.

Bedoelt hij hiermee dat hij er niet in slaagt om te definiëren welke discontinuïteiten niet zijn toegelaten in de theorie van Newton?

Hij heeft blijkbaar wel papers hierover gepubliceerd. Ik moet hem nog lezen.
https://www.jstor.org/stable/10.1086/594524

[Professor Puntje]

Wat ik ervan begrepen heb is dat het vanuit de klassieke mechanica bezien onduidelijk is welke discontinuïteiten nog wel en welke niet meer toelaatbaar geacht worden. Maar het is wel duidelijk dat idealiseringen binnen de klassieke mechanica (en eigenlijk binnen de wetenschap in het algemeen) schering en inslag zijn. Daaruit volgt dat het verbieden van specifieke situaties die leiden tot indeterminisme op grond van discontinuïteiten in hogere afgeleiden een bedenkelijke vorm van willekeur behelst. Men verandert dan de definitie van wat er binnen de klassieke mechanica valt al naar gelang de optredende resultaten om het indeterminisme maar buiten de deur te houden. Op die manier kun je het indeterminisme immers hoe-dan-ook uit de klassieke mechanica verbannen door de definitie van klassieke mechanica steeds zo aan te passen dat situaties die tot indeterminisme leiden erbuiten vallen. Alsof je een spelletje schaak speelt maar je zodra iemand een zet doet die je verlies met zich meebrengt je die zet als binnen het schaakspel ongeoorloofd verklaart. En dat niet omdat er voor dat verbod op een dergelijke zet een aannemelijke reden buiten het verhinderen van je verlies bestaat, maar precies omdat het toelaten van die zet tot je verlies leidt.

Norton:

The formulation I used in my paper is just that any motion is allowed if it conforms with Newton’s equations and uses the familiar entities and idealizations. In this common formulation, there is no prohibition on discontinuities in higher order derivatives. A text book example is a point mass sliding over a flat table top and coming to a sharp edge and then falling in a parabola. The table edge and the motion have discontinuities in lower order derivatives than the dome example.

Ik zal eens kijken of de door Norton verstrekte links nog iets nieuws toevoegen.

[HansH]

Leuk dat hij antwoordt op je vraag.

The difficulty is that we need some standard or some criterion to guide us in making the separation. As I think you mentioned somewhere, experiment cannot guide us. The dome system cannot be implemented physically since quantum mechanical considerations preclude it. The dome arises within a formulation of Newtonian mechanics. I don’t see that there is any unique way to pick out the “right” formulation.

Bedoelt hij hiermee dat hij er niet in slaagt om te definiëren welke discontinuïteiten niet zijn toegelaten in de theorie van Newton?

Hij heeft blijkbaar wel papers hierover gepubliceerd. Ik moet hem nog lezen.
https://www.jstor.org/stable/10.1086/594524

zie ook de links in zijn antwoord
https://sites.pitt.edu/~jdnorton/homepage/cv.html#L2012 daar vind je al zijn publicaties, oa de uitgebreide versie van de dome in het 2008 overzicht:
https://sites.pitt.edu/~jdnorton/papers/DomePSA2006.pdf

"Mechanical Supertasks”
https://sites.pitt.edu/~jdnorton/teachi ... nical.html

[HansH]

idealiseringen binnen de klassieke mechanica (

Norton:

The formulation I used in my paper is just that any motion is allowed if it conforms with Newton’s equations and uses the familiar entities and idealizations. In this common formulation, there is no prohibition on discontinuities in higher order derivatives. A text book example is a point mass sliding over a flat table top and coming to a sharp edge and then falling in a parabola. The table edge and the motion have discontinuities in lower order derivatives than the dome example.

De dome gedachte werkt uberhaupt alleen maar in de ideale situatie anders krijg je nooit versnelling=0 op de top. Dus ik zie geen probleem met de idealisaties met oneindig scherpe hoeken op tafelranden en oneindig kleine onregelmatigheden in oppervlakken etc. en dat afgeleides dan discontinue worden is toch ook geen probleem ? in de theoretische analyses kun je dat immers realiseren, maar je kunt ook altijd praktische niet idealiteiten toevoegen, dus je blijft heel flexibel.

[HansH]

Leuk dat hij antwoordt op je vraag.

The difficulty is that we need some standard or some criterion to guide us in making the separation. As I think you mentioned somewhere, experiment cannot guide us. The dome system cannot be implemented physically since quantum mechanical considerations preclude it. The dome arises within a formulation of Newtonian mechanics. I don’t see that there is any unique way to pick out the “right” formulation.

Bedoelt hij hiermee dat hij er niet in slaagt om te definiëren welke discontinuïteiten niet zijn toegelaten in de theorie van Newton?

Wat ik ervan begrijp is dat hij aangeeft dat we niet terug kunnen vallen op experimenten hier dus dat we alleen uit kunnen gaan van de formulering van de theorie door newton en de wiskundige fundering. wat hij denk ik dus bedoelt is dat dat is waar we het mee moeten doen dus zolang je iets beschrijft wat daar binnen valt is er geen manier om daar het meest geldige uit te halen.

ik had hem namelijk mijn gedachtes laten weten over die verandering van de 2e afgeleide van de versnelling als oorzaak voor het starten van de beweging. Daar heeft hij dus niet expliciet een antwoord op gegeven, maar bovenstaande laat denk ik zien dat het hij niet kan weerleggen omdat het gewoon aan ' formulation of Newtonian mechanics' voldoet.

Ik heb hem nog een bedank mail teruggstuurd met wat input van mij op zijn antwoord, maar per ongeluk drukte ik op 2 toetsen tegelijk waardoor het al verstuurd werd voordat ik er erg in had. (domme software) en daar reageerde hij vrijwel direct op dat hij daar niets aan toe te voegen had, dus neem ik aan dat hij dan bedoelt dat hij het ermee een was en mij verder veel succes wenste met mijn analyses. (dus denk ik niet meer gaat reageren) daarna nog de definitieve versie verstuurd met commentaar in rood op zijn antwoord en de 2 bijlages van excel die het effect van de verandering van de afgeleide laten zien.

Wat je misschien kunt doen is hem zelf een mail sturen met die vraag. ik denk dat hij daar wel op antwoord, maar geen zin heeft in heen en weer ge-email.

[Marko]

Wat ik heel erg mis in deze discussie is dat de wiskunde binnen een theorie, hoe belangrijk ook, uiteindelijk “slechts” het gereedschap is om de theorie toetsbaar te maken.

De eerste wet van Newton stelt, dat een voorwerp in rust, in rust blijft als daar geen resulterende kracht op werkt. In het geval van Nortons heuvel betekent dat dat de bal stil blijft liggen, volgens de wetten van Newton. Geen kracht, blijft stil liggen. Dezelfde beginsituatie leidt volgens deze wet tot dezelfde eindsituatie. Deterministischer kan het niet.

Dat bij de gebruikelijke formulering in de vorm van tweede orde DV’s met bijbehorende beginvoorwaarden in sommige situaties meerdere oplossingen mogelijk zijn staat daar los van. Dat zegt hooguit iets over de benodigde wiskunde. Maar eigenlijk is dat hier ook niet het geval. Uitgaande van Newtons eerste wet voldoet alleen de oplossing v(t)=0

[Xilvo]

Ik voel steeds meer voor het idee van TS in zijn eerste bericht.
Je hebt twee oplossingen, eentje met \(r(t)=\frac{1}{144}(t-T)^4\), zowel geldend voor \(t>T\) als voor \(t<T\). Het balletje rolt de dome op, komt even tot stilstand (maar met vierde afgeleide ongelijk nul) en rolt er weer af. Perfect mogelijk en omkeerbaar in de tijd.

En een oplossing met \(r(t)=0\) voor alle t. Ook perfect mogelijk en eveneens omkeerbaar in de tijd, met vierde afgeleide gelijk nul.
Er zijn twee oplossingen maar ik zie geen reden om op een willekeurig ogenblik te flip-floppen tussen die twee.

[HansH]

Het balletje rolt de dome op, komt even tot stilstand (maar met vierde afgeleide ongelijk nul) en rolt er weer af. Perfect mogelijk en omkeerbaar in de tijd.

En een oplossing met \(r(t)=0\) voor alle t. Ook perfect mogelijk en eveneens omkeerbaar in de tijd, met vierde afgeleide gelijk nul.
Er zijn twee oplossingen maar ik zie geen reden om op een willekeurig ogenblik te flip-floppen tussen die twee.

wat er volgens mij gebeurt bij het omhoog rollen is dat de 2e afgeleide van de versnelling -1/6 wordt en dat traject eindigt dan met r=0 als je exact de juiste energie toevoert onderaan de helling. op het moment dat het balletje stil komt te liggen is die 2e afgeleide nog steeds 1/6, maar id de versnelling en de afgeleide van de verstelling 0. Nu kunnen er volgens mij daarna 2 dingen gebeuren:
1) 2e afgeleide van de versnelling blijft 1/6. dan rolt het balletje weer de helling af hoewel de verstelling op dat moment 0 was.
2) 2e afgeleide van de versnelling wordt op dat moment 0. dan zijn alle afgeleiden 0 en blijft het balletje bovenop liggen.
dat is beide dus exact het omgekeerde van wat er kan gebeuren vanuit stilstand bovenop
dus nog steeds 2 oplossingen.