geodeet

[ukster]

geodeet 226 keer bekeken

De booglengte van de parallelle cirkel die de punten (1,0,1) en (0,1,1) verbindt. (rood) = π/2
Wat is de booglengte van de geodeet? (zwart)

[Xilvo]

Is dat 1,49129?

[ukster]

Ja, dat klopt inderdaad!
wat is je werkwijze?

[Xilvo]

wat is je werkwijze?

De kegel "platslaan".
Op \(z=1\) is de snijlijn met een horizontaal vlak een cirkel met \(r=1.\) Maar de platgeslagen kegel heeft een straal \(\sqrt 2\).
De platgeslagen kegel vormt dan een cirkelsector over een hoek \(\alpha =\frac{2 \pi}{\sqrt 2}\)
De afstand tussen twee punten onder een hoek \(\frac{\alpha}{4}\) op een cirkel met \(r=\sqrt 2\) is dan \(2 \sqrt 2 \sin \frac{\alpha}{8}\)

[ukster]

Aha..
Plat slaan zal hieronder niet werken denk ik
R³ oppervlak: f(x,y)=2sin(x)cos(y)+2/5sin(x/2)+2cos(3y/5)
verbindigspunten(-5,-3) en (5,0)

3D oppervlak 185 keer bekeken

De curve met minimale lengte zal dan numeriek benadert kunnen worden met Euler-Langrange?

[wnvl1]

Vragen naar de geodeet is dat eigenlijk wel synoniem met vragen naar de kortste afstand?

[wnvl1]

Wat de originele vraag betreft, is de aanzet van chatgpt juist, denk ik.

We willen de geodetische lijn vinden op het oppervlak \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \), tussen de punten \((1, 0, 1)\) en \((0, 1, 1)\). Hier is een gedetailleerde uitwerking:

---

### 1. **Oppervlak en parameterisatie**
Het oppervlak is \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \). De parameterisatie is:
\[
\mathbf{r}(x, y) = (x, y, \sqrt{x^2 + y^2}).
\]

De punten \((1, 0, 1)\) en \((0, 1, 1)\) liggen op het oppervlak omdat \(z = \sqrt{x^2 + y^2} = 1\).

---

### 2. **Eerste fundamentele vorm**
De eerste fundamentele vorm beschrijft de metriek van het oppervlak:
\[
\mathbf{r}_x = (1, 0, \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}), \quad \mathbf{r}_y = (0, 1, \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}).
\]

**Coëfficiënten van de metriek:**
\[
E = \mathbf{r}_x \cdot \mathbf{r}_x = 1 + \frac{x^2}{x^2 + y^2},
\]
\[
F = \mathbf{r}_x \cdot \mathbf{r}_y = \frac{xy}{x^2 + y^2},
\]
\[
G = \mathbf{r}_y \cdot \mathbf{r}_y = 1 + \frac{y^2}{x^2 + y^2}.
\]

Na vereenvoudiging:
\[
E = \frac{x^2 + y^2 + x^2}{x^2 + y^2} = 2, \quad F = \frac{xy}{x^2 + y^2}, \quad G = \frac{x^2 + y^2 + y^2}{x^2 + y^2} = 2.
\]

De eerste fundamentele vorm wordt dus:
\[
I = 2dx^2 + 2\frac{xy}{x^2 + y^2} dx \, dy + 2dy^2.
\]

---

### 3. **Geodetische vergelijking**
De geodetische lijn wordt gevonden door de Lagrangiaan af te leiden:
\[
\mathcal{L} = \sqrt{E \dot{x}^2 + 2F \dot{x}\dot{y} + G \dot{y}^2}.
\]

Invullen van \(E = 2\), \(F = \frac{xy}{x^2 + y^2}\), en \(G = 2\):
\[
\mathcal{L} = \sqrt{2\dot{x}^2 + 2\frac{xy}{x^2 + y^2}\dot{x}\dot{y} + 2\dot{y}^2}.
\]

De geodetische vergelijkingen volgen uit de Euler-Lagrange-vergelijkingen:
\[
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0, \quad
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 0.
\]

Dit levert een stelsel van niet-lineaire differentiaalvergelijkingen, die meestal numeriek opgelost moeten worden.

Daarnaast geeft chatgpt een vereenvoudiging met sferische coördinaten. Ik zet ze hieronder, maar die is volgens mij verkeerd. Ik citeer ze toch even. Ik vraag me overigens af, hoe je kan weten dat geodeten rechte lijnen zijn in polaire coördinaten? Dat is daar het uitgangspunt van chatgpt.

### 4. **Sferische coördinaten simplificatie**
Het oppervlak is een kegel. Dit betekent dat de geodeten rechte lijnen zijn in polaire coördinaten \((r, \theta)\), waarbij \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) en \(\theta = \arctan(y/x)\).

**Transformeer de punten:**
- Punt \((1, 0, 1)\): \(r = 1\), \(\theta = 0\),
- Punt \((0, 1, 1)\): \(r = 1\), \(\theta = \frac{\pi}{2}\).

In polaire coördinaten is de geodetische lijn een rechte lijn:
\[
\theta(t) = (1 - t)\cdot 0 + t \cdot \frac{\pi}{2}, \quad r = 1.
\]

**Terug naar Cartesische coördinaten:**
\[
x(t) = r \cos(\theta(t)) = \cos\left(\frac{\pi}{2}t\right),
\]
\[
y(t) = r \sin(\theta(t)) = \sin\left(\frac{\pi}{2}t\right),
\]
\[
z(t) = \sqrt{x(t)^2 + y(t)^2} = 1.
\]

---

### 5. **Parametrisatie van de geodetische lijn**
De geodetische lijn in Cartesische coördinaten is:
\[
x(t) = \cos\left(\frac{\pi}{2}t\right), \quad y(t) = \sin\left(\frac{\pi}{2}t\right), \quad z(t) = 1, \quad t \in [0, 1].
\]

---

### 6. **Resultaat**
De kortste pad tussen \((1, 0, 1)\) en \((0, 1, 1)\) op het oppervlak \(z = \sqrt{x^2 + y^2}\) is:
\[
\mathbf{r}(t) = \left(\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right), \sin\left(\frac{\pi}{2}t\right), 1\right), \quad t \in [0, 1].
\]

Verder bouwend op de eerste oplossing van chatgpt is het nu zaak om de randvoorwaarden juist verwerkt te krijgen. Dat moet ik nog eens herbekijken.

[wnvl1]

Wat Euler-Lagrange betreft, kom ik dan op volgende vergelijkingen

\[
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0
\]
en
\[
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 0
\]

met


\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} = \frac{\frac{2x^2 \dot{x}}{(x^2 + y^2)^{3/2}}}{\sqrt{1 + \frac{x^2}{x^2 + y^2} \dot{x}^2 + \frac{y^2}{x^2 + y^2} \dot{y}^2}}
\]

\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}} = \frac{\frac{2y^2 \dot{y}}{(x^2 + y^2)^{3/2}}}{\sqrt{1 + \frac{x^2}{x^2 + y^2} \dot{x}^2 + \frac{y^2}{x^2 + y^2} \dot{y}^2}}
\]


\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = - \frac{(x^2 + y^2) \cdot \left( \frac{2x \dot{x}^2}{(x^2 + y^2)^{3/2}} + \frac{2y \dot{x} \dot{y}}{(x^2 + y^2)^{3/2}} \right)}{ \sqrt{1 + \frac{x^2}{x^2 + y^2} \dot{x}^2 + \frac{y^2}{x^2 + y^2} \dot{y}^2}}
\]

\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = - \frac{(x^2 + y^2) \cdot \left( \frac{2x \dot{x} \dot{y}}{(x^2 + y^2)^{3/2}} + \frac{2y \dot{y}^2}{(x^2 + y^2)^{3/2}} \right)}{ \sqrt{1 + \frac{x^2}{x^2 + y^2} \dot{x}^2 + \frac{y^2}{x^2 + y^2} \dot{y}^2}}
\]


met randvoorwaarden

\( x(0) = 1, y(0) = 0 \) (beginpunt \( P_1 \)),
\( x(T) = 0, y(T) = 1 \) (eindpunt \( P_2 \)).

Dan is er echter nog altijd één onbekende te veel lijkt mij.

[wnvl1]

Aha..
Plat slaan zal hieronder niet werken denk ik
R³ oppervlak: f(x,y)=2sin(x)cos(y)+2/5sin(x/2)+2cos(3y/5)
verbindigspunten(-5,-3) en (5,0)
3D oppervlak.png
De curve met minimale lengte zal dan numeriek benadert kunnen worden met Euler-Langrange?

Nee, een kegel heeft een Riemann kromming die gelijk is aan nul. Een kegel kan je daarom platslaan. De kortste afstand in het platgeslagen vlak is een rechte. De tweede opgave is een oppervlak met Riemann kromming verschillend van nul, dus platslaan kan sowieso niet.

[Xilvo]

Numeriek kom ik op deze lijn (bovenaanzicht)

geodeet 115 keer bekeken

met een lengte van ongeveer 13,073.

[ukster]

Helaas heb ik hiervan geen uitwerking of antwoord.

[ukster]

Vragen naar de geodeet is dat eigenlijk wel synoniem met vragen naar de kortste afstand?

Chatgpt:
op sommige oppervlakken kan een geodeet lokaal wel de kortste afstand zijn, maar niet globaal
Elk kortste pad is wel een geodeet, maar niet elke geodeet is noodzakelijk het kortste pad tussen twee punten.

[wnvl1]

Dan is er echter nog altijd één onbekende te veel lijkt mij.

Nee, het zijn meerdere parametrisaties van dezelfde curve, het zou moeten kloppen.

[wnvl1]

Numeriek kom ik op deze lijn (bovenaanzicht)
geodeet.png
met een lengte van ongeveer 13,073.

Welk algoritme is gebruikt?

Een kleine zoektocht heeft mij niet direct een python library opgeleverd die direct bruikbaar is. Vertrekken van een rechte lijn en dan wat variaties op aanbrengen op de tussenliggende punten lijkt mij wel een optie.

[HansH]

ik weet niet wat de aanzet was voor start van dit topic, maar misschien is dit een mooie kans om systematisch de Rieman curvature en de wiskunde tools (tensors ?) eens gestructureerd te behandelen met uitgewerkte voorbeelden als aanzetje voor het beter begrijpen van de ART ? Er zijn vast mensen met voldoende kennis die dat kunnen begeleiden hier op het forum?