geodeet

[Xilvo]

Welk algoritme is gebruikt?

Een kleine zoektocht heeft mij niet direct een python library opgeleverd die direct bruikbaar is. Vertrekken van een rechte lijn en dan wat variaties op aanbrengen op de tussenliggende punten lijkt mij wel een optie.

Het laatste, en dan met lijnen met steeds meer punten. Eerst een lijn met vier segmenten, vijf punten. Na optimalisatie (positie punten in richting loodrecht op de lijn variëren en behouden wat de kortste lengte levert) punten tussenvoegen, dan heb je acht segmenten en negen punten. Dit herhaald tot de lijn 2048 segmenten had.

[wnvl1]

ik weet niet wat de aanzet was voor start van dit topic, maar misschien is dit een mooie kans om systematisch de Rieman curvature en de wiskunde tools (tensors ?) eens gestructureerd te behandelen met uitgewerkte voorbeelden als aanzetje voor het beter begrijpen van de ART ? Er zijn vast mensen met voldoende kennis die dat kunnen begeleiden hier op het forum?

Eerste stap is dan het berekenen van de metriek op het oppervlak \(z = \sqrt{x^2 + y^2}\).

### 1. Parametrizeer het oppervlak
Het oppervlak kan worden beschreven door:
\[
\mathbf{r}(x, y) = (x, y, \sqrt{x^2 + y^2}),
\]
waar \(x\) en \(y\) de vrije parameters zijn.

### 2. Bereken de basisvectoren
De partiële afgeleiden van \(\mathbf{r}(x, y)\) zijn de tangentiële basisvectoren:
\[
\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x} = \left(1, 0, \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right), \quad
\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y} = \left(0, 1, \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right).
\]

### 3. Bereken de metrische tensor
De metrische tensor \(g_{ij}\) wordt berekend als het inproduct van de basisvectoren:
\[
g_{ij} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x^i} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x^j}.
\]
De componenten zijn:
- \(g_{xx} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x}\),
- \(g_{xy} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}\),
- \(g_{yy} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}\).

### 4. Expliciete berekeningen
\[
g_{xx} = 1 + \frac{x^2}{x^2 + y^2}, \quad
g_{xy} = \frac{xy}{x^2 + y^2}, \quad
g_{yy} = 1 + \frac{y^2}{x^2 + y^2}.
\]

Na vereenvoudiging:
\[
g_{xx} = \frac{x^2 + y^2 + x^2}{x^2 + y^2} = 2, \quad
g_{xy} = \frac{xy}{x^2 + y^2}, \quad
g_{yy} = 2.
\]

### 5. Metriek in matrixvorm
De metrische tensor in termen van \(x\) en \(y\) is:
\[
g_{ij} = \begin{pmatrix}
2 & \frac{xy}{x^2 + y^2} \\
\frac{xy}{x^2 + y^2} & 2
\end{pmatrix}.
\]

Deze metriek is dan de basis voor het berkenen van de Christoffelsymbolen in een volgende stap...

[wnvl1]

Na vereenvoudiging:
\[
g_{xx} = \frac{x^2 + y^2 + x^2}{x^2 + y^2} = 2, \quad
g_{xy} = \frac{xy}{x^2 + y^2}, \quad
g_{yy} = 2.
\]

### 5. Metriek in matrixvorm
De metrische tensor in termen van \(x\) en \(y\) is:
\[
g_{ij} = \begin{pmatrix}
2 & \frac{xy}{x^2 + y^2} \\
\frac{xy}{x^2 + y^2} & 2
\end{pmatrix}.
\]

Deze metriek is dan de basis voor het berkenen van de Christoffelsymbolen in een volgende stap...

De vereenvoudiging is uiteraard mis.

Het is op basis van

\[
g_{xx} = 1 + \frac{x^2}{x^2 + y^2}, \quad
g_{xy} = \frac{xy}{x^2 + y^2}, \quad
g_{yy} = 1 + \frac{y^2}{x^2 + y^2}.
\]

dat de Christoffelsymbolen bereken kunnen worden.

[HansH]

ok. dan heb je dus nog een aantal stappen nodig om te komen tot de genoemde geodeet.

[wnvl1]

Ja, het is heel veel afgeleiden berekenen om te komen tot de Riemann tensor. Eerste stap is het berkenen van de Christoffelsymbolen. Uit de Christoffelsymbolen kan je dan de Riemann tensor berekenen. Zelfs voor dit eenvoudig voorbeeld ga je dat niet allemaal met pen en papier willen uitrekenen. Veel te omslachtig. Het is helaas ook niet door het berekenen van al die afgeleiden voor dit voorbeeld dat je tot dieper inzicht gaat komen. Je moet echt eerst de theorie doorlopen.

[wnvl1]

Met de Einsteinpy library is het mij wel gelukt om de Riemann kromming tensor te berekenen. Je ziet dat deze nul is. Dit betekent dus dat een kegeloppervlak correspondeert met een Euclidisch vlakke ruimte. Wat ik graag wilde bewijzen.