geodeet

[Xilvo]

Welk algoritme is gebruikt?

Een kleine zoektocht heeft mij niet direct een python library opgeleverd die direct bruikbaar is. Vertrekken van een rechte lijn en dan wat variaties op aanbrengen op de tussenliggende punten lijkt mij wel een optie.

Het laatste, en dan met lijnen met steeds meer punten. Eerst een lijn met vier segmenten, vijf punten. Na optimalisatie (positie punten in richting loodrecht op de lijn variëren en behouden wat de kortste lengte levert) punten tussenvoegen, dan heb je acht segmenten en negen punten. Dit herhaald tot de lijn 2048 segmenten had.

[wnvl1]

ik weet niet wat de aanzet was voor start van dit topic, maar misschien is dit een mooie kans om systematisch de Rieman curvature en de wiskunde tools (tensors ?) eens gestructureerd te behandelen met uitgewerkte voorbeelden als aanzetje voor het beter begrijpen van de ART ? Er zijn vast mensen met voldoende kennis die dat kunnen begeleiden hier op het forum?

Eerste stap is dan het berekenen van de metriek op het oppervlak \(z = \sqrt{x^2 + y^2}\).

### 1. Parametrizeer het oppervlak
Het oppervlak kan worden beschreven door:
\[
\mathbf{r}(x, y) = (x, y, \sqrt{x^2 + y^2}),
\]
waar \(x\) en \(y\) de vrije parameters zijn.

### 2. Bereken de basisvectoren
De partiële afgeleiden van \(\mathbf{r}(x, y)\) zijn de tangentiële basisvectoren:
\[
\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x} = \left(1, 0, \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right), \quad
\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y} = \left(0, 1, \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right).
\]

### 3. Bereken de metrische tensor
De metrische tensor \(g_{ij}\) wordt berekend als het inproduct van de basisvectoren:
\[
g_{ij} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x^i} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x^j}.
\]
De componenten zijn:
- \(g_{xx} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x}\),
- \(g_{xy} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}\),
- \(g_{yy} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}\).

### 4. Expliciete berekeningen
\[
g_{xx} = 1 + \frac{x^2}{x^2 + y^2}, \quad
g_{xy} = \frac{xy}{x^2 + y^2}, \quad
g_{yy} = 1 + \frac{y^2}{x^2 + y^2}.
\]

Na vereenvoudiging:
\[
g_{xx} = \frac{x^2 + y^2 + x^2}{x^2 + y^2} = 2, \quad
g_{xy} = \frac{xy}{x^2 + y^2}, \quad
g_{yy} = 2.
\]

### 5. Metriek in matrixvorm
De metrische tensor in termen van \(x\) en \(y\) is:
\[
g_{ij} = \begin{pmatrix}
2 & \frac{xy}{x^2 + y^2} \\
\frac{xy}{x^2 + y^2} & 2
\end{pmatrix}.
\]

Deze metriek is dan de basis voor het berkenen van de Christoffelsymbolen in een volgende stap...

[wnvl1]

Na vereenvoudiging:
\[
g_{xx} = \frac{x^2 + y^2 + x^2}{x^2 + y^2} = 2, \quad
g_{xy} = \frac{xy}{x^2 + y^2}, \quad
g_{yy} = 2.
\]

### 5. Metriek in matrixvorm
De metrische tensor in termen van \(x\) en \(y\) is:
\[
g_{ij} = \begin{pmatrix}
2 & \frac{xy}{x^2 + y^2} \\
\frac{xy}{x^2 + y^2} & 2
\end{pmatrix}.
\]

Deze metriek is dan de basis voor het berkenen van de Christoffelsymbolen in een volgende stap...

De vereenvoudiging is uiteraard mis.

Het is op basis van

\[
g_{xx} = 1 + \frac{x^2}{x^2 + y^2}, \quad
g_{xy} = \frac{xy}{x^2 + y^2}, \quad
g_{yy} = 1 + \frac{y^2}{x^2 + y^2}.
\]

dat de Christoffelsymbolen bereken kunnen worden.

[HansH]

ok. dan heb je dus nog een aantal stappen nodig om te komen tot de genoemde geodeet.

[wnvl1]

Ja, het is heel veel afgeleiden berekenen om te komen tot de Riemann tensor. Eerste stap is het berkenen van de Christoffelsymbolen. Uit de Christoffelsymbolen kan je dan de Riemann tensor berekenen. Zelfs voor dit eenvoudig voorbeeld ga je dat niet allemaal met pen en papier willen uitrekenen. Veel te omslachtig. Het is helaas ook niet door het berekenen van al die afgeleiden voor dit voorbeeld dat je tot dieper inzicht gaat komen. Je moet echt eerst de theorie doorlopen.

[wnvl1]

Met de Einsteinpy library is het mij wel gelukt om de Riemann kromming tensor te berekenen. Je ziet dat deze nul is. Dit betekent dus dat een kegeloppervlak correspondeert met een Euclidisch vlakke ruimte. Wat ik graag wilde bewijzen.

[HansH]

Mooi deze update. dan zou je dus moeten snappen wat de gedachte is achter het halen van de chistoffel symbolen uit de metriek. als ik het globaal denk te volgen dan is dat alle partiele afgeleides bepalen zodat je met een lineaire combinate daarvan de richting kunt bepalen die je op het oppervlak moet volgen mbt die geodeet. Dat is dan lbijkbaar de gedachte achter de Rimann tensor ? de rekenarij daarvoor zit dus blijkbaar netjes in die python library.
Misschien een uitdaging om dat proces dan een keer te laten zien met die andere curve met die bergen en dalen zoals eerder gepost omdat het voor de kegel een Riemann tensor van 0 oplevert. Dus voor dat berglandschap geeft het doorlopen van die procedure wel veel inzicht neem ik aan.

[tempelier]

Met de Einsteinpy library is het mij wel gelukt om de Riemann kromming tensor te berekenen. Je ziet dat deze nul is. Dit betekent dus dat een kegeloppervlak correspondeert met een Euclidisch vlakke ruimte. Wat ik graag wilde bewijzen.

riemann.png

De kegel is afwikkelbaar op het Euclidische vlak.
Ik heb ergens een makkelijker bewijs gezien, ik ga er eens naar zoeken.

[wnvl1]

Wat je ook kan doen is werken met cylindrische coördinaten. De metriek is dan eenvoudiger.



\[
x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta, \quad z = r,
\]


### 1. **Parametrisatie van het oppervlak**
De coördinaten worden uitgedrukt in termen van parameters \(r\) en \(\theta\):
\[
\vec{r}(r, \theta) = \begin{bmatrix}
r \cos \theta \\
r \sin \theta \\
r
\end{bmatrix}.
\]

Hierbij variëren:
- \(r \geq 0\) (de radiale parameter),
- \(\theta \in [0, 2\pi]\) (de hoekparameter).

---

### 2. **Tangentiële vectoren**
De tangentiële vectoren worden berekend door de afgeleiden van \(\vec{r}(r, \theta)\):
\[
\vec{r}_r = \frac{\partial \vec{r}}{\partial r}, \quad \vec{r}_\theta = \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta}.
\]

#### Afgeleiden:
- Voor \(\vec{r}_r\):
\[
\vec{r}_r = \begin{bmatrix}
\cos \theta \\
\sin \theta \\
1
\end{bmatrix}.
\]
- Voor \(\vec{r}_\theta\):
\[
\vec{r}_\theta = \begin{bmatrix}
-r \sin \theta \\
r \cos \theta \\
0
\end{bmatrix}.
\]

---

### 3. **Metriekcomponenten**
De metriek wordt berekend met het inproduct van de tangentiële vectoren:
\[
g_{ij} = \vec{r}_i \cdot \vec{r}_j, \quad i, j \in \{r, \theta\}.
\]

#### Berekeningen:
1. **\(g_{rr}\):**
\[
g_{rr} = \vec{r}_r \cdot \vec{r}_r = (\cos \theta)^2 + (\sin \theta)^2 + 1 = 2.
\]

2. **\(g_{r\theta}\):**
\[
g_{r\theta} = \vec{r}_r \cdot \vec{r}_\theta = (\cos \theta)(-r \sin \theta) + (\sin \theta)(r \cos \theta) + (1)(0) = 0.
\]

3. **\(g_{\theta\theta}\):**
\[
g_{\theta\theta} = \vec{r}_\theta \cdot \vec{r}_\theta = (-r \sin \theta)^2 + (r \cos \theta)^2 + 0 = r^2.
\]

---

### 4. **De metrische tensor**
De metrische tensor is:
\[
g_{ij} =
\begin{bmatrix}
2 & 0 \\
0 & r^2
\end{bmatrix}.
\]

[wnvl1]

Als ik dan de Riemann krommingstensor bereken, kom ik ook uit op 0. De Christoffelsymbolen verschillen, maar zij vormen geen tensor. Ze zijn coördinaatafhankelijk.

[wnvl1]

Mooi deze update. dan zou je dus moeten snappen wat de gedachte is achter het halen van de chistoffel symbolen uit de metriek. als ik het globaal denk te volgen dan is dat alle partiele afgeleides bepalen zodat je met een lineaire combinate daarvan de richting kunt bepalen die je op het oppervlak moet volgen mbt die geodeet. Dat is dan lbijkbaar de gedachte achter de Rimann tensor ? de rekenarij daarvoor zit dus blijkbaar netjes in die python library.

De Christoffelsymbolen zijn de lijm die de verschillende lokale assenstelsels globaal aan mekaar moet plakken. De berekening van die Christoffelsymbolen is heel omslachtig.

https://nl.wikipedia.org/wiki/Christoffelsymbolen

Ik ben hier niet de Euler Lagrange vergelijking aan het oplossen. Ik laat alleen maar zien hoe je uit de metriek de Riemann krommingstensor berekent.

https://nl.wikipedia.org/wiki/Krommings ... an_Riemann

[HansH]

Ziet er erg ingewikkeld uit allemaal. wel frappant dat je dan uit een 4 dimensionale variant daarvan dan blijkbaar weer een orde simpeler verband kan halen in de vorm van de schwarzschild oplossing voor zwaartekracht rond een zware niet roterende massa.

[Professor Puntje]

Wat stelt die metrische tensor hier dan voor?

[wnvl1]

De metrische tensor is de metriek. Dat is wat je nodig hebt om afstanden en hoeken te definiëren.

In de SRT is de metriek bvb
\[
ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2
\]

https://nl.wikipedia.org/wiki/Metrische_tensor

Analoog is de metriek op de kegels in de voorbeelden hierboven wat je nodig hebt als je afstanden op het kegeloppervlak wil gaan berekenen.

[wnvl1]

Ziet er erg ingewikkeld uit allemaal. wel frappant dat je dan uit een 4 dimensionale variant daarvan dan blijkbaar weer een orde simpeler verband kan halen in de vorm van de schwarzschild oplossing voor zwaartekracht rond een zware niet roterende massa.

De afleiding van de Schwarschild metriek is al bij al nog 'relatief' gemakkelijk te volgen (er zelf opkomen is iets anders, want dat heeft Einstein ook niet gekunnen). Ze is gebaseerd op symmetriebeschouwingen en het feit dat de oplossing asymptotisch naar een Minkowski metriek moet gaan.