geodeet

[Professor Puntje]

De metrische tensor is de metriek. Dat is wat je nodig hebt om afstanden en hoeken te definiëren.

In de SRT is de metriek bvb
\[
ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2
\]

En als je andere coördinaten gebruikt komen er andere coëfficiënten tevoorschijn?

[wnvl1]

Inderdaad. Als je van één coördinatensysteem \( x^\mu \) naar een ander coördinatensysteem \( x'^\nu \) gaat, transformeert de metrische tensor als volgt:

\[
g'_{\mu\nu}(x') = \frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu} \frac{\partial x^\beta}{\partial x'^\nu} g_{\alpha\beta}(x)
\]

Hierbij:
- \( g'_{\mu\nu}(x') \): De metrische tensor in het nieuwe coördinatensysteem.
- \( g_{\alpha\beta}(x) \): De metrische tensor in het oude coördinatensysteem.
- \( \frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu} \): De Jacobiaan van de coördinatentransformatie, die de relatie tussen de oude en nieuwe coördinaten beschrijft.

Het ruimtetijdinterval \( ds^2 \), dat wordt gegeven door:
\[
ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu
\]
blijft echter invariant onder coördinatentransformaties. Dit betekent dat de fysieke afstand of tijd tussen twee gebeurtenissen hetzelfde blijft, ongeacht het gekozen coördinatensysteem.

[Professor Puntje]

En omdat je de coëfficiënten van de metrische tensor voor "alle" coördinatenstelsels kunt berekenen zodra je ze voor één coördinatenstelsel kent, kun je de metrische tensor net als een "normale" vector beschouwen als een ding dat onafhankelijk van enig specifiek gekozen coördinatenstelsel bestaat?

(Hoe typ je de accenten op "één"? Ik moet ze nu steeds van elders kopiëren.)

[wnvl1]

\[
g'_{\mu\nu}(x') = \frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu} \frac{\partial x^\beta}{\partial x'^\nu} g_{\alpha\beta}(x)
\]

Het is omdat de metriek getransformeerd wordt volgens bovenstaande regel, dat je het kan beschouwen als een (0,2) tensor.

Dat je de metrische tensor voor "alle" coördinatenstelsels kunt berekenen, volstaat niet om een tensor te zijn.

[Professor Puntje]

Maar goed dat ik de vraag gesteld heb dan! Want dan zat ik op een dwaalspoor. Bestaan er ook generalisaties van tensoren zodanig dat (nagenoeg) alle transformatieregels volstaan zolang je maar steeds bij de kentallen onder één coördinatenstelsel die onder een ander coördinatenstelsel kunt vinden en omgekeerd?

[wnvl1]

Ik denk nog aan een tensordichtheid. Dat speelt ook een rol in relativiteitstheorie. Voor de rest weet ik het niet.

[Professor Puntje]

Is er een inzichtelijke reden waarom juist de vermelde transformatieregels gekozen zijn? Wordt daar een bepaalde fysische intuïtie mee geformaliseerd?

[wnvl1]

Je hebt covariante en contravariante tensoren. Ze transformeren precies tegengesteld. De metriek kan je beschouwen als een covariante (0,2) tensor. Hij mapt twee contravariante (1,0) tensoren {vectoren eigenlijk} op een scalar. De transformatie van de metriek compenseert de transformatie van de vectoren om zo een invariante scalaire grootheid te bekomen. Zo kan je het wat aanvoelen.

Is heel slordig en onvolledig geformuleerd, maar daar komt het min of meer op neer.