Klassieke gravitatie met eindige voortplantingssnelheid en Mercurius

[Professor Puntje]

Inmiddels heb ik een idee hoe de rotatie van het perihelium semi-klassiek te berekenen zou kunnen zijn, maar dat wordt dan nog wel een flinke rekenpartij. Daarom plaats ik dat idee eerst maar eens hier ter beoordeling of de uitgangspunten ergens naar lijken. Als die uitgangspunten voor een semi-klassieke berekening al niet acceptabel zijn heeft het immers ook geen zin er nog verdere energie in te steken om \( \omega_{pr} \) langs die weg af te leiden.

Mijn voorgestelde uitgangspunten zijn:

1. De hoeveelheid weg gestraalde impuls en/of energie is verwaarloosbaar.
2. De gravitatie-werking op Mercurius mag semi-klassiek met behulp van een geretardeerde tijd beschreven worden.
3. De baan van Mercurius is voor een enkele omloop beschouwd bij goede benadering een ellips.
4. Er geldt \( v(T) - v(0) = \omega_{pr} \cdot d \) volgens onderstaande schets:

[Xilvo]

In de relativistische formule voor de precessie komt de massa van Mercurius niet voor. Die massa kunnen we dan verwaarloosbaar klein kiezen. De invloed op de positie van de zon is dan nul, we kunnen de zon als stationair beschouwen.
Mercurius zal dan in een klassiek model, ongeacht de vertraging, altijd een kracht richting centrum zon ervaren.
Dan treedt geen precessie van het perihelium op.

[Professor Puntje]

Als gevolg van uitgangspunt 2. (= de geretardeerde gravitatie) zal v(T) vermoedelijk van v(0) verschillen, en wegens uitgangspunten 1. en 4. moet dat dan aan de rotatie van het perihelium worden toegeschreven. Of je zo de juiste waarde vindt weet ik niet, maar de uitgangspunten lijken me (binnen het kader van een semi-klassieke aanpak) niet al te gek...

[Xilvo]

Als gevolg van uitgangspunt 2. (= de geretardeerde gravitatie) zal v(T) vermoedelijk van v(0) verschillen, en wegens uitgangspunten 1. en 4. moet dat dan aan de rotatie van het perihelium worden toegeschreven. Of je zo de juiste waarde vindt weet ik niet, maar de uitgangspunten lijken me (binnen het kader van een semi-klassieke aanpak) niet al te gek...

Als ik het goed begrijp is v(0) de snelheid in het perihelium en die zal dus altijd hoger zijn dan de snelheid op een andere plaats in de baan. Maar misschien bedoel je iets anders.

[Professor Puntje]

Met v(0) bedoel ik de snelheid op tijdstip 0 (dat zo gekozen moet worden dat Mercurius zich dan in het perihelium bevindt), en met v(T) bedoel ik de snelheid op tijdstip T (dus precies één omloop na t=0). Zowel op t=0 als op t=T bevindt Mercurius zich op het perihelium.

[Xilvo]

OK, duidelijk. Maar hoe kan vertraagde zwaartekracht effect hebben als de bron van die zwaartekracht stationair is, of in ieder geval in een zeker inertiaalstelsel stationair is?

[Professor Puntje]

OK, duidelijk. Maar hoe kan vertraagde zwaartekracht effect hebben als de bron van die zwaartekracht stationair is, of in ieder geval in een zeker inertiaalstelsel stationair is?

De zon is niet stationair, want zon en Mercurius draaien om hun gemeenschappelijke zwaartepunt. Het effect daarvan wordt echter door de keuze van een ellips als benaderde baan verwaarloosd. Een verwaarlozing die zelden problemen oplevert. De afstand van Mercurius tot de zon varieert, en daardoor varieert ook de mate van vertraging van de zwaartekracht van de zon die op Mercurius werkt.

[Xilvo]

OK, duidelijk. Maar hoe kan vertraagde zwaartekracht effect hebben als de bron van die zwaartekracht stationair is, of in ieder geval in een zeker inertiaalstelsel stationair is?

De zon is niet stationair, want zon en Mercurius draaien om hun gemeenschappelijke zwaartepunt. Het effect daarvan wordt echter door de keuze van een ellips als benaderde baan verwaarloosd. Een verwaarlozing die zelden problemen oplevert.

Daarom koos ik ervoor om de massa van Mercurius verwaarloosbaar klein te maken. Dat zou de (eventuele) precessie moeten verdwijnen.
De precessie volgens de ART is onafhankelijk van de massa van Mercurius, zoals ik al eerder schreef.

[Professor Puntje]

Even iets verder uitgewerkt:

Bij een instantane gravitatiekracht \( F_i(t) \) zal het perihelium niet aan de wandel gaan. Maar mijn semi-klassieke aanpak werkt niet met de instantane kracht \( F_i(t) \) maar met de geretardeerde kracht \( F_r(t) = F_i(t') \). Ik heb het nog niet uitgerekend, maar ik verwacht dat v(0) en v(T) bij het gebruik van de geretardeerde kracht \( F_r(t) = F_i(t') \) niet langer gelijk zijn.

[Xilvo]

Bij een instantane zwaartekracht ondervind de planeet (veronderstel met heel kleine massa \(m\), een kracht \(G \frac{m M }{r^2}\), met \(r\) de onderlinge afstand, in de richting van de zon.
Wat verandert er, volgens jou, aan grootte dan wel richting als die kracht niet instantaan is?

[Professor Puntje]

De geretardeerde kracht \( \vec{F}_r(t) = \vec{F}_i(t') \) loopt wegens \( t' = t - \frac{ r(t') }{\mathrm{c}} \) een tijdje \( \frac{ r(t') }{\mathrm{c}} \) op \( \vec{F}_i(t) \) achter. Dat is vanwege de te overbruggen afstand van de zon naar Mercurius. Maar daar is inderdaad iets vreemds aan de hand. Als de positie van de zon vast ligt, is dan r(t') gelijk aan r(t)...? - Bedoel je dat?

[Xilvo]

Maar daar is inderdaad iets vreemds aan de hand. Als de positie van de zon vast ligt, is dan r(t') gelijk aan r(t)...? Bedoel je dat?

Precies.

[Professor Puntje]

Ja - daar zit nog iets niet lekker. Op zich is het goed voorstelbaar dat het enige tijd kost voordat de gravitatie-werking die uitgaat van de zon bij Mercurius is, maar hoe dat netjes in formules kan worden uitgedrukt is nog even de vraag...

[flappelap]

Normaliter los je de gravitatiepotentiaal op uit de Poisson-vergelijking. Als zwaartekracht zich niet instantaan voortplant, dan moet je de Poissonvergelijking uitbreiden met een tijdsafhankelijke term zodat deze een golfvergelijking wordt. Hoe doe je dat zonder dat je op relativistische uitdrukkingen komt?

Oftewel: die gravitatiepotentiaal die je nu gebruikt is de oplossing van een veldvergelijking vergelijkbaar met de Poissonvergelijking. Welke?

[Professor Puntje]

Mijn bedoeling is om te werken met krachten in plaats van potentialen. Dat is me in een eerder topic (over lichtbuiging) ook gelukt. Ik wil iets dergelijks nu ook in het moeilijker geval van Mercurius proberen om te zien of daar dan ook de juiste waarde uitrolt.