Wiskunde gebaseerd op meerwaardelogica

[vijv]

Allen,

De meeste wiskunde is gebaseerd op de axioma's van de Zermelo-Fraenkel verzamelingenleer aangevuld met het keuzeaxioma, waaruit we nieuwe stellingen afleiden via de klassiek tweewaardenlogica.
Nu vroeg ik mij af of er wiskundige theorieën zijn die gebaseerd zijn op een meerwaardelogica?

[Professor Puntje]

Niet helemaal precies, maar komt in de buurt:
Fuzzy logic?
Intuïtionistische wiskunde (= Brouwer etc.)

[Regor]

Aan vijf,

Dat U er een topic over maakt komt mij goed uit..
Had ik ook al ge-opperd in één van mijn reacties........ omdat men het aanhoudend / voortdurend had over "mogelijk" en "onmogelijk"
duidelijk "binnen " een tweewaardige logica.

Ben benieuwd naar de reacties.

[Regor]

vijv, sorry (automatische vervelende spelling correctie)

[Regor]

Aan vijv,

Heb ik het verkeerd voor dat men met de" meerwaardige logica" het domein binnen komt van de "statistiek" en de "waarschijnlijkheid" ?

[Professor Puntje]

Er zijn inmiddels allerlei alternatieve vormen van logica bedacht. De tweewaardige logica is slechts een van de vele mogelijkheden. Je kunt het eigenlijk zo gek niet bedenken of er bestaat wel een formalisering van. Heel goed is de "Handbook of Philosophical Logic" serie.

[vijv]

Niet helemaal precies, maar komt in de buurt:
Fuzzy logic?
Intuïtionistische wiskunde (= Brouwer etc.)

Intuitionistische wiskunde is blijkbaar een goed voorbeeld, en blijkbaar ook gebruikt in computerwetenschappen. Ik ga me hier eerst eens over inlezen.

De Fuzzy logica moet ik me ook terug inlezen, maar ik dacht dat dit uiteindelijk ook op een meeerwaardenlogica is gebaseerd

Aan vijv,

Heb ik het verkeerd voor dat men met de" meerwaardige logica" het domein binnen komt van de "statistiek" en de "waarschijnlijkheid" ?

Neen statistiek en waarschijnlijkheidsrekenen zijn gebaseerd op de klassieke (tweewaarden) logica.

[Xilvo]

Neen statistiek en waarschijnlijkheidsrekenen zijn gebaseerd op de klassieke (tweewaarden) logica.

Wat is er tweewaardig aan statistiek of kansrekening?

[Professor Puntje]

Voor die zaken A waar een kans aan kan worden toegeschreven is het voor ieder getal p waar of onwaar dat de kans op A p is. Een derde optie is er niet.

[Xilvo]

Voor die zaken A waar een kans aan kan worden toegeschreven is het voor ieder getal p waar of onwaar dat de kans op A p is. Een derde optie is er niet.

Als de kans op regen 0,759 is, dan is het waar dat de kans op regen 0,759 is en voor ieder ander getal onwaar.
Zo kan je alles wel tweewaardig maken.

Als de kans op regen 0,759 is dan zijn er drie mogelijkheden:
1. De kans op regen is 0,759
2. De kans op regen is groter dan 0,659
3. De kans op regen is kleiner dan 0,859
Is het nu driewaardig?

[Regor]

"Waarschijnlijkheid" is gewoon "meerwaardige logica" ...... tenzij het niet zo is, maar zou niet weten waarom dat niet zo zou zijn.
Waarschijnlijkheid is toch één van de fundamenten binnen de quantum theorie.

[Professor Puntje]

Meerwaardige logica gaat ervan uit dat er sommige logische uitspraken bestaan die niet waar zijn maar ook niet onwaar. Er moet om een logica meerwaardig te mogen noemen naast waar en onwaar dus minstens nog een derde optie voorhanden zijn.

[vijv]

"Waarschijnlijkheid" is gewoon "meerwaardige logica" ...... tenzij het niet zo is, maar zou niet weten waarom dat niet zo zou zijn.
Waarschijnlijkheid is toch één van de fundamenten binnen de quantum theorie.

Maar dat alles is gefundeerd op de tweewaardige logica. Een beetje kort door de bocht misschien , maar logica zijn enkel maar de spelregels hoe je binnen de wiskunde iets bewijst, niet de wiskunde op zich. Alle bewijzen van de statistiek, waarschijnlijkheid , de Hilberruimte, de wiskunde achter de gofvergelijkingen etc steunen op de tweewaardenlogica.

Meerwaardige logica gaat ervan uit dat er sommige logische uitspraken bestaan die niet waar zijn maar ook niet onwaar. Er moet om een logica meerwaardig te mogen noemen naast waar en onwaar dus minstens nog een derde optie voorhanden zijn.

Exact, Dit wil bv zeggen dat we in de bewijvoering van de op deze meerwaarde logica niet mogen uigaan van de uitgesloten derde. Iets wat we bij de "normale wiskunde , wel doen.

[Xilvo]

Maar dat alles is gefundeerd op de tweewaardige logica. Een beetje kort door de bocht misschien , maar logica zijn enkel maar de spelregels hoe je binnen de wiskunde iets bewijst, niet de wiskunde op zich. Alle bewijzen van de statistiek, waarschijnlijkheid , de Hilberruimte, de wiskunde achter de gofvergelijkingen etc steunen op de tweewaardenlogica.

Lijkt me sterk. Ik kan een vergelijking oplossen waar bijvoorbeeld 23,7 uit komt. Wat is daar tweewaardig aan?

Ik kan een populatiegemiddelde schatten uit een steekproefgemiddelde. Daar komt bijvoorbeeld 3,78 uit. Wat is daar tweewaardig aan?

[Professor Puntje]

Logica houdt zich bezig met redeneringen, en dus slechts indirect met berekende uitkomsten. Aan die uitkomsten is niet meer te zien hoe ze tot stand zijn gekomen.

Een goed voorbeeld is het bewijs uit het ongerijmde. Dat werkt niet meer als je meer opties dan enkel waar en onwaar hebt. Dan volstaat het immers niet langer om te bewijzen dat het tegendeel van de stelling die je wilt bewijzen niet waar kan zijn.