Wiskunde gebaseerd op meerwaardelogica

[Xilvo]

Logica houdt zich bezig met redeneringen, en dus slechts indirect met berekende uitkomsten. Aan die uitkomsten is niet meer te zien hoe ze tot stand zijn gekomen.

Omgekeerd hebben wiskundige berekeningen maar zijdelings verband met tweewaardige logica.

[wnvl1]

Hangt af van de tak van de wiskunde. Booleaanse algebra, wat je gebruikt voor het ontwikkelen van digitale schakelingen - denk aan Karnaugh kaarten enzo - is sterk gelinkt met tweewaardige logica.

[Xilvo]

Hangt af van de tak van de wiskunde. Booleaanse algebra, wat je gebruikt voor het ontwikkelen van digitale schakelingen - denk aan Karnaugh kaarten enzo - is sterk gelinkt met tweewaardige logica.

Absoluut. Daar doelde ik dan ook niet op.

[vijv]

Allen,

Zoals ik al gezegd heb is de meeste wiskunde die we kennen gebaseerd op tweewaardenlogica. Zonder hierover een discussie te willen starten, maar om duidelijk te maken hoe de logica ingrijpt op wiskunde kun je stellen dat logica de wiskunde voorafgaat en eigenlijk buiten de wiskunde valt. ( dus hierop niet reageren want als je dit anders ziet is dit ook ok voor mij, het is eerder pedagogisch).
Misschien een vereenvoudigd voorbeeld van hoe onze(meeste) wiskunde is gefundeerd.
Ik ga op een vereenvoudigde wijze beschrijven hoe in de moderne wiskunde de natuurlijke getallen tot stand komen.
Dit weeral op een pedagogisch maar niet volledig correcte manier:

We nemen twee axioma's (dit kun je beschouwen als horende bij de op te bouwen wiskundige theorie

A: Er bestaat een lege verzameling aangeduid als {O}
B: Elke verzameling x kan een element zijn van een verzameling aangeduid als {x}

Dit zijn twee uitspraken die axioma's worden als we stellen dat deze altijd waar zijn, Hier komt de tweewaardenlogica reeds op te proppen omdat ik hier onrechtstreeks ook vanuit ga dat deze uitspraken ofwel waar ofwel onwaar zijn.

We maken nu de propositie C : {{0}} is een verzameling. we weten niet of uitspraak waar is of onwaar

Nu gaan we logica gebruiken om te bewijzen dat C waar is.


uit A volgt dat {0} een verzameling is dus mogen we in B x door {0}vervangen dus {{0}} is een verzameling (volgt uit B)

Als je wil kan ik dit ook rigoureus afleiden met pure logica symboliek maar dat moet ik wel even terug opzoeken)

dit proces kunnen we herhalen en we krijgen volgende reeks verzamelingen:

{0} ,{{0}} ,{{{0}}},{{{{0}}}}, ...

We kunnen nu aan elke verzameling een symbool toekennen:

{0} = 0
{{0}}= 1
{{{0}}} =2
{{{{0}}}} + 3
...
en we krijgen zo de natuurlijke getallen. In de set theory wordt natuurlijk verder bewezen dat deze reeks ook de eigenschappen bezitten van de natuurlijke getallen zoals we die kennen.

Het is belangrijk om in te zien dat in de logica geen getallen bestaan, maar dat deze in de set theory worden geconstrueerd.
Dus als we praten over twee of meer waarden logica zijn de waarden geen getallen, maar eerder een status van een propositie of uitspraak.

[Professor Puntje]

Juist. vijv verdiept zich in het onderwerp, en zit daardoor (afgezien van wat details) op het goede spoor. Maar wat roepen over meerwaardige logica zonder te weten waar het over gaat is volstrekt zinloos, en leidt maar tot een verspilling van tijd en energie.

[Xilvo]

Misschien een vereenvoudigd voorbeeld van hoe onze(meeste) wiskunde is gefundeerd.
//
en we krijgen zo de natuurlijke getallen. In de set theory wordt natuurlijk verder bewezen dat deze reeks ook de eigenschappen bezitten van de natuurlijke getallen zoals we die kennen.

Het is natuurlijk wel een "fundament" dat onder de wiskunde geschoven is toen de wiskunde al lang en breed bestond.

[Professor Puntje]

De tweewaardige logica is zo vanzelfsprekend dat men zich vaak niet eens realiseert dat men een bepaald type logica gebruikt. Daarom valt een zinvolle discussie over meerwaardige logica's enkel te voeren nadat men zich (althans enigszins) in het onderwerp verdiept heeft.

[Xilvo]

Als ik boodschappen ga doen gebruik ik ook tweewaardige logica. Als ik naar buiten ga trek ik de deur achter mij dicht. Of niet.
Ik koop een pak melk. Of niet. Ik betaal bij de zelfscan of aan de kassa.
Tweewaardige logica is de basis van het boodschapppen doen.

Met alle respect voor het verhaal van vijv, dat klopt natuurlijk. Maar doorgaans doe je niets met tweewaardige logica als je met wiskunde bezig bent.

[Professor Puntje]

Ooit van een bewijs uit het ongerijmde gehoord? Als je dat als legitieme bewijstechniek verwerpt valt ook een deel van de gebruikelijke wiskunde weg.

Wiskunde opgevat als een reeks aangeleerde rekentrucjes is een ander verhaal, dat volstaat inderdaad voor huis-tuin-en-keuken gebruik.

[Xilvo]

Ooit van een bewijs uit het ongerijmde gehoord? Als je dat als legitieme bewijstechniek verwerpt valt ook een deel van de gebruikelijke wiskunde weg.

Ja zeker. Dat verwerp ik niet. Natuurlijk speelt waar/niet waar een rol in de wiskunde en kan je wiskunde opbouwen vanuit tweewaardige logica. Maar eeuwen werd wiskunde succesvol toegepast zonder dat tweewaardige fundament. Newton zou je stomverbaasd hebben aangestaard als je zou vertellen dat alles wat hij wiskundig deed tweewaardig was.

Verder maakt het mij niet uit hoe het genoemd wordt. Ik ben geen wiskundige maar een gebruiker van wiskunde.

[Regor]

"Meerwaardige logica" ofte "valse logica" wordt veelvuldig gebruikt in proces sturing.
In de wiskunde sec kan ik mij niet voorstellen.

[Professor Puntje]

Zoals ik al eerder schreef gebruiken veel mensen tweewaardige logica zonder dat ze dat zelf beseffen, maar hun gebrek aan inzicht maakt nog niet dat ze geen tweewaardige logica gebruiken. Het onderscheid tussen tweewaardige en meerwaardige logica is pas relevant geworden door de opkomst van alternatieve vormen van logica. Zulke benamingen zijn onontbeerlijk als je wilt weten waar je het over hebt. Wiskunde zonder (al dan niet bewust gebruikte) tweewaardige logica ziet er anders uit dan de gebruikelijke wiskunde. Een voorbeeld daarvan is de intuïtionistische wiskunde.

[Xilvo]

Zulke benamingen zijn onontbeerlijk als je wilt weten waar je het over hebt.

Zoals Feynman al zei, als je weet hoe iets heet weet je niets behalve welk woord ergens voor gebruikt wordt. Het levert geen inzicht, het levert geen begrip.
Je kunt uitstekend wiskunde gebruiken zonder iets van een mogelijk tweewaardige fundament te weten.

[Professor Puntje]

Je beseft niet wat je doet, je wil niet weten hoe het heet en wat de alternatieven zijn, en wil je er ook niet in verdiepen waar dat op gebaseerd is. OK dan.

vijv heeft die belangstelling wel. Misschien heeft vijv wel iets aan mijn berichtjes.

[Xilvo]

Je beseft niet wat je doet, je wil niet weten hoe het heet en wat de alternatieven zijn, en wil je er ook niet in verdiepen waar dat op gebaseerd is. OK dan.

Ik heb er niets aan wanneer ik wiskunde gebruik. Ik heb het nooit nodig gehad tijdens de vele jaren dat ik professioneel wiskunde gebruikte. En ik besefte heel goed wat ik deed.

Een loodgieter hoeft niet te weten dat zijn waterpomptang voor een groot deel uit quarks bestaat om die tang effectief te kunnen gebruiken.

Prima wat vijv schrijft. Minder prima om iemand van onkunde te betichten als hij hier geen belangstelling voor heeft.