Klassieke gravitatie met eindige voortplantingssnelheid en Mercurius

[HansH]

dus je met de baan als je start eenmalig roteren om over te gaan van vertraagd naar niet vertraagt en daarnakun je met niet vertraagd verder rekenen, maar moet je steeds de delta shift bepalen voor een stukje verderop in de baan en daarmee de rotatie hoek aanpassen.

[HansH]

Wat zou het effect zijn op de baan van Mercurius als we een dergelijke correctie met de factor \( \frac{\nu'}{\nu }\) op de aantrekkingskracht van de zon op Mercurius zouden toepassen? Wie ziet een eenvoudige manier om dat in te schatten?

watik denk dat het effect zal zijn is geen rotatie, maar een situatie waarbij de baan iets groter wordt dan in het echt omdat de aantrekking minder is dus de planeet verder weg vliegt vanwege een afgenomen potentiele energie per afstand of hij wordt groter en je komt niet meer bij het begin uit omdat beide bewerkingen heen en terug elkaar niet precies compenseren.

[Professor Puntje]

Dank voor de simulatie! Dat je na een omloop niet meer op het startpunt terugkeert is precies wat je moet hebben voor een rotatie van het perihelium. Als je de simulatie nog een paar omlopen extra laat doen kunnen we zien of er wel of niet rotatie optreedt.

[HansH]

Dank voor de simulatie! Dat je na een omloop niet meer op het startpunt terugkeert is precies wat je moet hebben voor een rotatie van het perihelium. Als je de simulatie nog een paar omlopen extra laat doen kunnen we zien of er wel of niet rotatie optreedt.

misschien kun jij dan alvast wat rekenwerk voor mij voorbereiden zodat ik het resultaat zo kan verwerken in de sheet.

op elk punt heb ik beschikbaar:
-de snelheid in x en y richting van mercurius
-de x en y coordinaten van mercurius (x1,y1) en van de zon (x2,y2)
-de afstand tussen zon en mercurius
-de kracht op basis van standaard newton
ik neem aan dat je de snelheidscomponent wilt weten in de richging van de vector die van zon naar mercurius wijst ?
kun jij daar een formule voor berekenen neem aan dat dat kan met inproduct ? ik zou dat weer op moeten zoeken hoe dat ookal weer werkt, dus kun jij vast voorbereiden dan kan ik het er vanavond zo inpluggen.
ik denk dat we de kracht dan moeten vermenigvuldigen met jouw correctiefactor, maar die moet je dan eerst berekenen op basis van bovenstaande

[HansH]

Dat je na een omloop niet meer op het startpunt terugkeert is precies wat je moet hebben voor een rotatie van het perihelium. Als je de simulatie nog een paar omlopen extra laat doen kunnen we zien of er wel of niet rotatie optreedt.

je moet denk ik wel op de zelfde afstand uitkomen op het iets geroteerde perihelium, immers die afstand blijft hetzelfdealleen roteert die vector om de zon (of punt vlakbij de zon misschien)

[HansH]

even snel gekeken met simpele benadering van het idee van professor puntje.

dat geeft geen rotatie maar opblazen van de baan in horizontale richting.
ook nog even geprobeerd met 1/corr^2 ipv 1/corr om een indruk te krijgen of dat een rotatie kan veoorzaken, maar ook dan krijg ik alleen opplazen van de baan in horizontale richting

[Professor Puntje]

Nieuwe poging: neem naast de eindige snelheid van de gravitatie c ook aan dat gravitatie berust op een extreem hoogfrequente (met frequentie \( \nu \) en trillingstijd \( \tau = \frac{1}{\nu} \) ) vertraagde uitdeling van krachtstootjes. Het verhaal wordt dan aldus:

Op tijdstip \( t_0 = n \tau \) vertrekt met snelheid c in alle richtingen vanaf een object A de n-de "informatiebel" \( \alpha_n \) die de massa \( \mathrm{m}_a \) van A en bovendien de vanaf \( t_0 \) door een punt op het oppervlak van de bel afgelegde afstand \( r_a(t) \) bevat. Stel nu dat de bel \( \alpha_n \) op het tijdstip \( t_1 \) een object B met massa \( \mathrm{m}_b \) bereikt. Dan is \( r_a = r_a(t_1) \) de afstand tussen de positie van A op \( t_0 \) en de positie van B op \( t_1 \), en is \( \vec{e}_{ba}(t_1) \) de eenheidsvector die van de positie van B op \( t_1 \) naar de positie van A op \( t_0 \) wijst. Informatie over waar A zich nu inmiddels op tijdstip \( t_1 \) bevindt heeft bel \( \alpha_n \) niet te bieden. Voor een semi-klassieke vertraagde gravitatie bestaande uit discrete krachtstootjes is het daarom logisch aan te nemen dat B op tijdstip \( t_1 \) gedurende een miniem tijdje \( \tau \) een loodrecht op het oppervlak van bol \( \alpha_n \) staand binnenwaarts gericht krachtstootje \( \vec{F}_b \cdot \tau \) ondervindt met:

\( \vec{F}_b = \mathrm{G} \frac{ m_a m_b }{ (r_a(t_1))^2 } \cdot \vec{e}_{ba}(t_1) \)


In deze opzet krijg je door het Doppler effect een vervorming van de ellips die met wat geluk leidt tot een rotatie van het perihelium.

De frequentie waarmee de informatiebellen met een snelheid c door de (bij benadering) stilstaande zon worden uitgezonden noemen we \( \nu \) en de "trillingtijd" \( \tau = \frac{1}{\nu}\). Voor de "golflengte" komt er dan \( \lambda = \mathrm{c} \cdot \tau \). Mercurius ziet dus een eindeloze reeks informatiebellen met een onderlinge (loodrecht op de boloppervlakken gemeten) afstand \( \lambda \) op zich afkomen. Als Mercurius stil zou staan dan zouden de informatiebellen (en daarmee de krachtstootjes) met een frequentie \( \nu \) op Mercurius worden overgebracht. Maar als Mercurius met een snelheid(component) \( v_z \) richting zon beweegt zal de frequentie van de ontvangen krachtstootjes hoger liggen. Laat nu Mercurius met een snelheid(component) \( v_z \) richting zon bewegen dan komen de informatiebellen met een relatieve snelheid \( \mathrm{c} + v_z \) op Mercurius af, want we rekenen hier niet relativistisch (\( v_z \ll \mathrm{c} \)). In een tijdje \( \mathrm{d}t \) ontvangt Mercurius dan \( \mathrm{d} N' \) krachtstootjes met:

\( \mathrm{d} N' = \frac{ (\mathrm{c} + v_z) \cdot \mathrm{d}t }{ \lambda} \)

De frequentie \( \nu' \) waarmee Mercurius die krachtstootjes dan ontvangt is:

\( \nu' = \frac{\mathrm{d} N' }{ \mathrm{d}t } \)

\( \nu' = \frac{ \mathrm{c} + v_z}{ \lambda} \)

\( \nu' = \frac{ \mathrm{c} + v_z}{ \mathrm{c} \cdot \tau } \)

\( \nu' = \frac{ \mathrm{c} + v_z}{ \mathrm{c} } \cdot \frac{1}{ \tau } \)

\( \nu' = ( 1 + \frac{v_z}{\mathrm{c}}) \cdot \nu \)

En dus:

\( \frac{\nu'}{\nu} = 1 + \frac{v_z}{\mathrm{c}} \)

Deze factor \( \frac{\nu'}{\nu} \) geeft aan hoe de door Mercurius ondervonden zwaartekracht van de zon binnen het model met de krachtstootjes gemodificeerd moet worden.

Combinatie van deze twee resultaten toegepast op een (bij benadering) stilstaande zon (= object A) en Mercurius (= object B) geeft voor de op Mercurius werkende (gemiddelde) kracht \( \vec{F} \) dat:

\( \vec{F} = ( 1 + \frac{v_z}{\mathrm{c}} ) \cdot \frac{ \mathrm{G} m_a m_b }{ (r_a(t))^2 } \cdot \vec{e}_{ba}(t) \)

De positie van de zon verandert niet, en de positie van Mercurius geven we aan met \( \vec{r} = \vec{r}(t) \), of \( r = r(t) \) voor de lengte van \( \vec{r}(t) \). De eenheidsvector met dezelfde richting als \( \vec{r} = \vec{r}(t) \) noemen we \( \hat{r}(t) \). Verder schijven we de massa van de zon als \( \mathrm{M} \) en de massa van Mercurius als \( \mathrm{m} \). Zodat:

\( \vec{F} = - ( 1 - \frac{\dot{r}(t)}{\mathrm{c}} ) \cdot \frac{\mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} }{ (r(t))^2 } \cdot \hat{r}(t) \)


Merk op dat in dit model met zijn informatiebellen en stilstaande zon de kracht op Mercurius \( \vec{F} \) steeds naar de zon blijft wijzen. Dus geldt ook behoud van impulsmoment.

[HansH]

@ Professor Puntje: het lijkt erop dat je dit opschreef terwijl je mijn voorgaande berichten nog niet hebt gerzien?

[Professor Puntje]

Ik vond het belangrijk om eerst een complete differentiaalvergelijking uit mijn model af te leiden. Simpel gezegd is mijn conclusie nu dat je uitgaande van mijn model voor de baan van Mercurius enkel de correctie-factor \( (1 - \frac{ \dot{r}(t)}{\mathrm{c}}) \) aan de Newtonse gravitatiekracht zou hoeven toe te voegen. Er hoeft niets te worden verbogen want de zo gevonden kracht is net als die van Newton steeds gericht op de zon. Of deze simpele correctie een rotatie van het perihelium oplevert is nu de grote vraag...

[HansH]

IOf deze simpele correctie een rotatie van het perihelium oplevert is nu de grote vraag...

klopt dus als jij daar alvast wat voor kunt voorbereiden dan kan ik het zo uitproberen.
maar komt in feite neer op het vermenigvuldigen van de zwaartekracht met (1+delta) op de heenweg en (1-delta) op de terugweg
de delta is dan een functie van de snelheid op afstand r van de zonn en als 2e orde effect het verschil tussen het lange deel van de ellips op de heen en teugweg. maar het eerste orde effect geeft in mijn berekening met vaste delta al niet het gewenste effect (uitrekken van de baan en energie toevoer zodat de baan steeds groter wordt). ik vraag me af of je dat goed krijgt met de delta als functie van snelheid en r.

[Professor Puntje]

Er zijn niet twee correctie-factoren, want er is er maar een die zowel voor de heenweg als voor de terugweg geldt. En \( \dot{r}(t) \) is de afgeleide naar de tijd van de momentane afstand van Mercurius tot de zon.

[Xilvo]

Als de kracht bij bewegen vanaf het object af kleiner is dan bij het naderen, dan is dat geen conservatief veld meer en schend je behoud van energie.

Mercurius zou bij iedere omloop energie winnen.

[Xilvo]

Merk op dat in dit model met zijn informatiebellen en stilstaande zon de kracht op Mercurius \( \vec{F} \) steeds naar de zon blijft wijzen. Dus geldt ook behoud van impulsmoment.

Een centrale kracht alleen is geen garantie voor behoud van impulsmoment.

[Professor Puntje]

Merk op dat in dit model met zijn informatiebellen en stilstaande zon de kracht op Mercurius \( \vec{F} \) steeds naar de zon blijft wijzen. Dus geldt ook behoud van impulsmoment.

Een centrale kracht alleen is geen garantie voor behoud van impulsmoment.

Wat moet er dan nog meer gelden?

[Xilvo]

Wat moet er dan nog meer gelden?

Bijvoorbeeld constante energie van de planeet, kinetisch plus potentieel.