x^n als functie van Combinaties, een alternatief.

[Regor]

Op basis van de formule van x^n als functie van combinaties (zie oude Topic) leide ik ook een andere uitdrukking af voor x^n.
Helaas ook in een oude notatie.... zie bijlage.

1. Is deze formule juist ?
2. Hoe ziet hij er uit in Latex ?

[RedCat]

We hadden

\(\displaystyle \sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}(x-i)^n = n!\)

Haal de eerste term van de sommatie (waarvoor i=0) naar buiten:

\(x^n + \displaystyle \sum_{i=1}^n(-1)^i\binom{n}{i}(x-i)^n = n!\)

waardoor

\(x^n = n! - \displaystyle \sum_{i=1}^n(-1)^i\binom{n}{i}(x-i)^n\)

ofwel

\(x^n = n! + \displaystyle \sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}\binom{n}{i}(x-i)^n\)


Voorbeeld:

\(5^3 = 3! + \binom{3}{1}\cdot 4^3 - \binom{3}{2}\cdot 3^3 + \binom{3}{3}\cdot 2^3\)

[Regor]

Aan RedCat,

Dank U.
De afleiding die U maakte is evident, baserende op een vorige formule voor n!

Maar de uitdrukking op mijn bijgevoegde foto is heelwat anders.
Vandaar misschien, met respect ...... nog eens de twee vragen in mijn topic te willen lezen en mogelijks reactie op te geven.