Op basis van de formule van x^n als functie van combinaties (zie oude Topic) leide ik ook een andere uitdrukking af voor x^n.
Helaas ook in een oude notatie.... zie bijlage.
1. Is deze formule juist ?
2. Hoe ziet hij er uit in Latex ?
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
Regor
- Artikelen: 0
- Berichten: 92
- Lid geworden op: zo 15 dec 2024, 18:24
-
RedCat
- Artikelen: 0
- Berichten: 512
- Lid geworden op: zo 21 jul 2019, 16:38
Re: x^n als functie van Combinaties, een alternatief.
We hadden
\(\displaystyle \sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}(x-i)^n = n!\)
Haal de eerste term van de sommatie (waarvoor i=0) naar buiten:
\(x^n + \displaystyle \sum_{i=1}^n(-1)^i\binom{n}{i}(x-i)^n = n!\)
waardoor
\(x^n = n! - \displaystyle \sum_{i=1}^n(-1)^i\binom{n}{i}(x-i)^n\)
ofwel
\(x^n = n! + \displaystyle \sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}\binom{n}{i}(x-i)^n\)
Voorbeeld:
\(5^3 = 3! + \binom{3}{1}\cdot 4^3 - \binom{3}{2}\cdot 3^3 + \binom{3}{3}\cdot 2^3\)
\(\displaystyle \sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}(x-i)^n = n!\)
Haal de eerste term van de sommatie (waarvoor i=0) naar buiten:
\(x^n + \displaystyle \sum_{i=1}^n(-1)^i\binom{n}{i}(x-i)^n = n!\)
waardoor
\(x^n = n! - \displaystyle \sum_{i=1}^n(-1)^i\binom{n}{i}(x-i)^n\)
ofwel
\(x^n = n! + \displaystyle \sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}\binom{n}{i}(x-i)^n\)
Voorbeeld:
\(5^3 = 3! + \binom{3}{1}\cdot 4^3 - \binom{3}{2}\cdot 3^3 + \binom{3}{3}\cdot 2^3\)
-
Regor
- Artikelen: 0
- Berichten: 92
- Lid geworden op: zo 15 dec 2024, 18:24
Re: x^n als functie van Combinaties, een alternatief.
Aan RedCat,
Dank U.
De afleiding die U maakte is evident, baserende op een vorige formule voor n!
Maar de uitdrukking op mijn bijgevoegde foto is heelwat anders.
Vandaar misschien, met respect ...... nog eens de twee vragen in mijn topic te willen lezen en mogelijks reactie op te geven.
Dank U.
De afleiding die U maakte is evident, baserende op een vorige formule voor n!
Maar de uitdrukking op mijn bijgevoegde foto is heelwat anders.
Vandaar misschien, met respect ...... nog eens de twee vragen in mijn topic te willen lezen en mogelijks reactie op te geven.
-
RedCat
- Artikelen: 0
- Berichten: 512
- Lid geworden op: zo 21 jul 2019, 16:38
Re: x^n als functie van Combinaties, een alternatief.
Ik lees in de foto:
\(x^n = \binom{n}{1}\cdot (x-1)^n - \binom{n}{2}\cdot (x-2)^n + \binom{n}{3}\cdot (x-3)^n - ... \pm \binom{n}{n}\cdot (x-n)^n\)
In de eerste term rechts is het verschil tussen x en n heel duidelijk, in de latere termen kan ik het x,n-onderscheid steeds moeilijker maken. De nul in de laatste term op de foto geldt alleen als x=n.
Wellicht bedoelt u iets anders?
\(x^n = \binom{n}{1}\cdot (x-1)^n - \binom{n}{2}\cdot (x-2)^n + \binom{n}{3}\cdot (x-3)^n - ... \pm \binom{n}{n}\cdot (x-n)^n\)
In de eerste term rechts is het verschil tussen x en n heel duidelijk, in de latere termen kan ik het x,n-onderscheid steeds moeilijker maken. De nul in de laatste term op de foto geldt alleen als x=n.
Wellicht bedoelt u iets anders?
