Klassieke gravitatie met eindige voortplantingssnelheid en Mercurius

[Xilvo]

Mooi - dan hebben we voor de Gerber-kracht:

\( F = - \frac{\mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}}{r^2 \left( 1 - \frac{\dot{r}}{c} \right)^2} \hat{r} \)

\( F = - \frac{\mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}}{r^2 } \cdot ( 1 + 2 \frac{\dot{r}}{c} + 3 ( \frac{\dot{r}}{c} )^2 + ... ) \cdot \hat{r} \)

Vreemd, waar in eerdere modificatie-voorstellen alleen de tangentiële snelheid van belang was is het hier nu ineens alleen de radiale snelheid.

[HansH]

Een tensor is een speciaal type vector. Dat betekent dat de componenten van een tensor vaak zullen veranderen als je een zekere tensor vanuit een andere waarnemer beschrijft. Niettemin blijft het dan nog steeds dezelfde tensor. Als je de kromming van ruimte-tijd beschrijft als een tensor zal er iets degelijks gelden. De tensor blijft hetzelfde, maar de componenten variëren (en daarmee wat er ten opzichte van het coördinatenstelsel van verschillende waarnemers wordt waargenomen).

maar wat je waarneemt is toch niet afhankelijk van hoe je een tensor beschrijft? als je in een raket versnelt dan zie je achter je de tijd langzamer lopen en je zet een waarnemings horizon. dat resultaat staat vast onafhankelijk van hoe je het beschrijft.

[HansH]

Hier nog een aangepaste formule voor de zwaartekracht: https://farside.ph.utexas.edu/teaching/ ... ode45.html

wat is precies: ' and angular momentum per unit mass $h$. '

Ik neem aan het impulsmoment van de planeet gedeeld door zijn massa.

hoe vertaal ik dat naar een formule die in in mijn rekensheet kan stoppen?

[Professor Puntje]

Mooi - dan hebben we voor de Gerber-kracht:

\( F = - \frac{\mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}}{r^2 \left( 1 - \frac{\dot{r}}{c} \right)^2} \hat{r} \)

\( F = - \frac{\mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}}{r^2 } \cdot ( 1 + 2 \frac{\dot{r}}{c} + 3 ( \frac{\dot{r}}{c} )^2 + ... ) \cdot \hat{r} \)

Vreemd, waar in eerdere modificatie-voorstellen alleen de tangentiële snelheid van belang was is het hier nu ineens alleen de radiale snelheid.

Daarom ben ik er ook heel benieuwd naar hoe goed (of slecht) de verschillende correctie-factoren presteren vergeleken met de bekende waarden voor de precessie van verschillende planeten.

[Professor Puntje]

Een tensor is een speciaal type vector. Dat betekent dat de componenten van een tensor vaak zullen veranderen als je een zekere tensor vanuit een andere waarnemer beschrijft. Niettemin blijft het dan nog steeds dezelfde tensor. Als je de kromming van ruimte-tijd beschrijft als een tensor zal er iets degelijks gelden. De tensor blijft hetzelfde, maar de componenten variëren (en daarmee wat er ten opzichte van het coördinatenstelsel van verschillende waarnemers wordt waargenomen).

maar wat je waarneemt is toch niet afhankelijk van hoe je een tensor beschrijft? als je in een raket versnelt dan zie je achter je de tijd langzamer lopen en je zet een waarnemings horizon. dat resultaat staat vast onafhankelijk van hoe je het beschrijft.

Afstanden en tijden maken deel uit van je gehanteerde coördinatenstelsel, dus dat zijn geen absolute feiten. Alleen gebeurtenissen (en tensoren) zijn nog absoluut.

[Professor Puntje]

wat is precies: ' and angular momentum per unit mass $h$. '

Ik neem aan het impulsmoment van de planeet gedeeld door zijn massa.

hoe vertaal ik dat naar een formule die in in mijn rekensheet kan stoppen?

Vul \( h = v_t.r \) in. Dat vereenvoudigt de formule enorm.

[Professor Puntje]

Zie ook: https://en.wikipedia.org/wiki/Specific_angular_momentum

[Xilvo]

Daarom ben ik er ook heel benieuwd naar hoe goed (of slecht) de verschillende correctie-factoren presteren vergeleken met de bekende waarden voor de precessie van verschillende planeten.

Met een factor \(1+3 (\frac{v_{tan}}{c})^2\) krijgt Mercurius een precessie van nagenoeg 43'' per eeuw.

Met een factor \(1+2\frac{v_{rad}}{c}+3 (\frac{v_{rad}}{c})^2\) krijgt Mercurius een precessie van ca 7,1'' per eeuw. Daarbij speelt de kwadratische term nauwelijks nog een rol.

[Professor Puntje]

Hoe kan dat? Gerber zou toch de juiste uitkomst geven?

Bron: https://arxiv.org/pdf/1106.1568

[Xilvo]

Hoe kan dat? Gerber zou toch de juiste uitkomst geven?

Daar wordt gesproken over de snelheid, niet over de radiale snelheid.

[Professor Puntje]

Inderdaad.

[Xilvo]

Gerber stelt dat de potentiaal gelijk is aan

\[
V = -\frac{GM}{r \left( 1 - \frac{r}{c} \dot{r} \right)},
\]

Ga je hier niet uit van een onjuiste potentiaal?
Eerder (do 23 jan 2025, 23:12) schreef je dat de potentiaal volgens Gerber \(V(r, v) = -M \frac{1}{r} \left(1 - \frac{v}{c}\right)^{-2}\) zou zijn (en daar zit blijkbaar de G in de M verwerkt, daar doel ik niet op).

Moet \(\dot{r}\) hier niet \(\dot{\theta}\) zijn, ontbreekt er een kwadraat?

[Professor Puntje]

Heb het origineel in het Zeitschrift für Mathematik und Physik gevonden: https://gdz.sub.uni-goettingen.de/downl ... 5_0043.pdf

[Professor Puntje]

Dit is nog belangrijk in verband met de juiste naamgeving:

Bron: https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Fichier ... Motion.png

[Xilvo]

Heb het origineel in het Zeitschrift für Mathematik und Physik gevonden: https://gdz.sub.uni-goettingen.de/downl ... 5_0043.pdf

Daarin staat dan weer de potentiaal zoals gebruikt door wnvl1 bij zijn afleiding, \(V = -\frac{GM}{r \left( 1 - \frac{r}{c} \dot{r} \right)}\)