Berekening aan het verwerken: 100%
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Regor
Artikelen: 0
Berichten: 288
Lid geworden op: zo 15 dec 2024, 18:24

Is de volgende uitdrukking altijd juist x^n = a^2 - b^2

Is een willekeurige macht van een natuurlijk getal altijd het verschil van twee kwadraten ?
Gebruikersavatar
Bart23
Artikelen: 0
Berichten: 255
Lid geworden op: di 07 jun 2016, 20:16

Re: Is de volgende uitdrukking altijd juist x^n = a^2 - b^2

Aangezien (a+1)²-a² = 2a+1 kan je elk oneven getal schrijven als verschil van 2 kwadraten. (en dus ook elke macht van een een oneven getal, want dat is opnieuw een oneven getal. Vb 23 = 2*11+1 = 12²-11²
Anderzijds, a²-b² = (a-b)(a+b). Nu geldt dat a-b en a+b allebei even of allebei oneven zijn (het verschil tussen de 2 factoren is immers 2b, een even getal). De oneven getallen hadden we al boven behandeld, dus in het even geval hebben we dus 2 even factoren, dus a²-b² zal dan sowieso een 4-voud zijn.
Als je een 4-voud hebt, kan je met (a+1)²-(a-1)²=4a makkelijk een mogelijke schrijfwijze vinden. Bv 24 = 4*6 = 7²-5²
De enige getallen x^n die niet lukken zijn dus de even getallen die geen 4-voud zijn, met n=1 (want als n>1 dan hebben we vanzelf een 4-voud)
Laatst gewijzigd door Bart23 op wo 29 jan 2025, 23:37, 1 keer totaal gewijzigd.
RedCat
Artikelen: 0
Berichten: 520
Lid geworden op: zo 21 jul 2019, 16:38

Re: Is de volgende uitdrukking altijd juist x^n = a^2 - b^2

[1] Kijk eerst naar x (ofwel: geval n=1):
x = even en een viervoud:
x=4k=(k+1)2(k1)2

x = even en GEEN viervoud:
dan zou er een oneven y zijn, zodanig dat
x=2y=a2b2=(ab)(a+b)
Stel a-b=k, dan is a+b=k+2b en zien we:
ofwel (a-b) en (a+b) zijn allebei even,
ofwel (a-b) en (a+b) zijn allebei oneven.
In beide gevallen kan hun product niet gelijk zijn aan 2y.

x = oneven:
x=2k+1=(k+1)2k2


[2] Nu xn en n>1:
x = even = 2k
dan is xn=2nkn, voor n>1 zeker een viervoud, zie verder [1]
x = oneven => xn is oneven, zie verder[1]
Regor
Artikelen: 0
Berichten: 288
Lid geworden op: zo 15 dec 2024, 18:24

Re: Is de volgende uitdrukking altijd juist x^n = a^2 - b^2

Aan Bart23,
Dank U
Aan Redcat
Dank U

Ik dacht aan het volgende bewijs, ik ben voor de eenvoud.
Ik hoop dat ik de haakjes juist geplaatst heb.

1. Als x = oneven

x^n = x^n . x^0 = ((x^n +x^0)/2 )^2 - ((x^n -x^0)/2)^2

vb: 9^3 = ((9^3 + 9^0)/2)^2 - ((9^3 - 9^0)/2)^2
= 365 ^2. - 364^2

......................................................................................

2. Als x = even

x^n = x ^(n-1) . x^1 = (( x^(n-1) + x ^1 ) / 2)^2 - (( x^(n-1) - x^1 ) /2)^2

vb: 8 ^3 = ((8^2 + 8^1)/2)^2 - ((8^2 - 8^1)/2)^2
= 36^2 - 28^2
Gebruikersavatar
Bart23
Artikelen: 0
Berichten: 255
Lid geworden op: di 07 jun 2016, 20:16

Re: Is de volgende uitdrukking altijd juist x^n = a^2 - b^2

Dag Regor
Dat is ook goed! Enkel voor n=1 geeft je berekening geen gehele getallen, want een nulde macht van een even getal is niet even.
Regor
Artikelen: 0
Berichten: 288
Lid geworden op: zo 15 dec 2024, 18:24

Re: Is de volgende uitdrukking altijd juist x^n = a^2 - b^2

Aan Bart 23,

Dank U
Had als voorwaarde moeten bijschrijven ..... voor n niet gelijk aan 1 als x = even.
Dus wat betreft mijn Topic ......... NIET ALTIJD JUIST
Regor
Artikelen: 0
Berichten: 288
Lid geworden op: zo 15 dec 2024, 18:24

Re: Is de volgende uitdrukking altijd juist x^n = a^2 - b^2

Aan Bart23 en RedCat

Als wij het mechanisme gebruiken om machten te laten dalen door om te zetten in verschillen van kwadraten,
kan dan de FLT niet eenvoudiger bewezen worden?

x^n = a^2 - b^2
y^n = c^2 - d^2
z^n = e^2 - e^2

Met n = een oneven getal niet gelijk aan 1
En daar x^n + y^n nooit gelijk is aan z^n .......(FLT)

Dan is (a^2 - b^2) + (c^2 - d^2) nooit gelijk aan (e^2 - f^2)

Dan is (a^2 + c^2 + f^2 ) nooit gelijk aan (b^2 + d^2 + e^2)
Een Diophantische vergelijking

Samen natuurlijk met de relaties die gelden tussen a en b...... c en d ...... e en f.
Gebruikersavatar
Bart23
Artikelen: 0
Berichten: 255
Lid geworden op: di 07 jun 2016, 20:16

Re: Is de volgende uitdrukking altijd juist x^n = a^2 - b^2

Maar je gebruikt FLT in je redenering. Dat kan nooit een bewijs voor FLT opleveren. Hoogstens heb je nu bewezen dat een bepaald type diophantische vgl geen oplossing kan hebben van een bepaalde vorm
Regor
Artikelen: 0
Berichten: 288
Lid geworden op: zo 15 dec 2024, 18:24

Re: Is de volgende uitdrukking altijd juist x^n = a^2 - b^2

Aan Bart23

Dank U

Ik dacht enkel maar dat het reduceren van een willekeurige priem macht voor FLT naar kwadraten iets zou kunnen teweeg brengen.
Dus niet, geen probleem.
Nogmaals bedankt hoor.

Terug naar “Wiskunde”