Buigpunten.

[Anonymous]

Eerder deze week leerde ik in mijn leerboek het tekenen van een derde graadsfunctie, ik leerde dat ik hierbij kon stoten op buigpunten en dat ik dat moest onderzoeken waar dat deze zijn dit ging als volgt: ik neem da afgeleide dan de 2de afgeleide deze stel ik gelijk aan nul en zoek mijn coördinaten van mijn buigpunt ook moet ik nu een teken overzicht maken waarmee ik kan controleren dat het teken wisselt.

In mijn boek staat het volgende over buigpunten 'zowel op het concave deel als op het convexe deel van de functie zijn de raaklijnen stijgende lijnen alleen de verandering van de richtingscoëfficiënten is verschillende voor het concave deel geld dat de richtingcoëfficiënten van de raaklijnen afnemen (de grafiek gaat steeds minder steil lopen ) tot aan het buigpunt waar de richtingscoëfficiënt van de raaklijnen in dit geval nul is' en verder en na het buigpunt gaan de richtingscoëfficiënt steeds steiler lopen.

Dus hier uit concludeer ik dat wanneer je met een buigpunt te maken heb je teken gaat wisselen in je teken overzicht en dat dus de grafiek minder steil gaat lopen voor het buigpunt en steiler dan na het buigpunt.

Dit onthield ik dus en vroeg het aan iemand (over het internet) of mijn redenering klopt deze man zei me eerst dat het volledig niet klopt en dat je volgens de stelling van Thaylor kunt bewijzen dat de steilheden aan beide kanten van mijn buigpunten gelijk moet zijn maar dan klopt mijn redenering niet,

Oké ik wel hem best geloven maar hoe alles over mijn buigpunten was voorgesteld in mijn leerboek was het veel eenvoudiger.

Naderhand zei hij wel dat dit klopte bij voor geen willekeurige functie en als de eerste afgeleide gelijk positief is

Nu is mijn vraag wie wil mij eens vertelen wat hier van klopt en niet en wat meer uitleg geven over buigpunten, tekenschema's en het vinden van buigpunten?

En misschien wel het aantal soorten buigpunten en wat bedoelt die met Thaylor

Dank bij voorbaat.

[DVR]

Een buigpunt is precies dat punt in een grafiek waar er een overgang is van toenemende steilheid naar afnemende steilheid (of andersom).. (Het gaat dus om de verandering van steilheid)



Bij een typische derde graads functie zit het buigpunt zoals hier boven aangegeven..

Neem je bijvoorbeeld de afgeleide van y=x^3 - x^2 dan krijg je y'=3x^2 - 2x.. Gelijk stellen aan nul levert: 3x^2 - 2x=0 -> x(3x - 2)=0 Dus je hebt een extreme waarde (top of dal van de grafiek) op x = 0 en op 3x=2 -> x=2/3...

Voor het buigpunt neem je de tweede afgeleide, dus de afgeleide van y'= 3x^2 - 2x -> y''= 6x - 2

Stel je deze gelijk aan nul, dan krijg je: 6x - 2=0 -> x = 2/6

Een tekenschema maak je door de functie y'' wat nader te onderzoeken.. Waar het eigenlijk op neer komt is dat je aangeeft waar deze functie (6x - 2) positief is, nul is en waar deze negatief is.. Dit tekenschema komt er in dit geval ongeveer als volgt uit te zien:



De Taylorreeks gebruik je om functies te benaderen.. Maar das een heel ander verhaal, en in deze context ook niet erg relevant voor het vinden van buigpunten..

[Anonymous]

Dank om uwe duidelijke uitleg.

Een buigpunt is precies dat punt in een grafiek waar er een overgang is van toenemende steilheid naar afnemende steilheid (of andersom).. (Het gaat dus om de verandering van steilheid)

Dit klopt altijd ?

Nu uw buigpunt is op 2/6 nu steek ik in de tweede afgeleide 2/3 en 1/3

En ik kom dus rechts +

en links -

het teken wisselt dus.

concaaf = hol ?

En convex bol ?

[DVR]

Dank om uwe duidelijke uitleg.

Geen probleem, en zeg maar 'je' hoor

Een buigpunt is precies dat punt in een grafiek waar er een overgang is van toenemende steilheid naar afnemende steilheid (of andersom).. (Het gaat dus om de verandering van steilheid)

Dit klopt altijd ?

Ehm, volgens mij klopt dit altijd.. Behalve bij functies die niet continu zijn mischien, maar daar ben ik niet zeker van..

Nu uw buigpunt is op 2/6 nu steek ik in de tweede afgeleide 2/3 en 1/3

En ik kom dus rechts +

en links -

het teken wisselt dus.

2/6 = 1/3, ik neem aan dat 1/3 dus nul moet opleveren...

Ik ben er zelf niet echt voorstander van om punten rondom het buigpunt in te vullen om te kijken of ze positief dan wel negatief zijn..

Vooral niet in dit geval, waar het aan de functie duidelijk te zien is..

y''=6x - 2 is een gewone lineaire functie:

concaaf = hol ?

En convex bol ?

dank bij voorbaat.

Respectievelijk geen idee en geen probleem

[Bert F]

je zegt: 'Ik ben er zelf niet echt voorstander van om punten rondom het buigpunt in te vullen om te kijken of ze positief dan wel negatief zijn.. '

Waarom niet dan moet je altijd de grafiek tekenen?

[DVR]

je zegt:   'Ik ben er zelf niet echt voorstander van om punten rondom het buigpunt in te vullen om te kijken of ze positief dan wel negatief zijn.. '

Waarom niet dan moet je altijd de grafiek tekenen?

Dank.

Nou kijk, die grafiek zat meer ter illustratie bij de functie y'' = 6x - 2.. Ik hoef geen grafiek te tekenen om te weten dat dit een stijgende functie is, (de richtingscoëfficient (6) is immers positief).. Aangezien deze functie ook nog lineair is kun je gelijk zeggen dat alle punten links van x=1/3 negatief zijn, en alle punten rechts ervan positief..

De rede dat ik liever geen getallen invul komt doordat deze functies niet altijd lineair zijn.. Wordt er bijvoorbeeld gevraagd wat de buigpunten van een functie y = Sin[A*X] zijn, dan hoeft invullen in de tweede afgeleide ( y'' = - A^2 Sin[A*X] ) niet altijd de goede waarden op te leveren..

Stel bijvoorbeeld A=4Pi.. We onderzoeken y'' naar de nulpunten.. Ik laat -A^2 buiten beschouwing (want als Sin[A*X] nul is, is y'' ook nul).. Dan krijg ik: Sin[4Pi * X] = 0.. X is nu: 0 v 1/4 v 1/2 v 3/4 v 1 etc..

Als je nu punten in zou vullen rondom de nulpunten is het essentieel dat je weet hoe dicht je ze ernaast moet kiezen.. Als je punten invult rondom 1/4 dan is het niet voldoende om bijvoorbeeld 1/4-1/8 en 1/4+1/8 te nemen (omdat 1/4+1/8 == 1/2-1/8 )..

Maar goed.. Het kan wel werken, mits je de punten maar dicht genoeg bij het nulpunt kiest.. Bij derde-graads functies zal het geen problemen opleveren, ik ben er alleen geen voorstander van..

[Bert F]

oke soms zie je dat dan (begrijp dat) maar als je het niet ziet...

tekenen (met computer of ...