x^y = y^x

[A.Square]

x^y = y^x

Leuke functie maar te moeilijk voor mij om algebraisch op te lossen.

De enige oplossaingen die ik kon geven waren

x=y ; y=x (levert dus de rechte lijn y=x door de oorsprong)

x=2 ; y=4 (levert één punt van een nieuwe curve)

x=4 ; y=2 (levert het tweede punt van de nieuwe curve)

Ik had dit al gedaan:

x^y = y^x

y log (x) = x log(y)

y/log(y) = x/log(x)

(y/log(y))^10 = (x/log(x))^10

(y^10)/y = (x^10)

y^9 = x^9

y=x

[PeterPan]

Je begon goed:

x^y = y^x

y log (x) = x log(y)

log(y)/y = log(x)/x.

Dus met f(x) = log(x)/x

zoekt je waarden x1 en x2 met f(x1) = f(x2).

We bekijken functie f. Differentieren geeft:

f`(x) = (1 - log(x))/x^2

f`(x) = 0 precies dan als x = e.

f`(x)>0 als x<e en f`(x)<0 als x<e.

Dus f stijgt als x<e en daalt voor x>e.

Als f(x1) = f(x2) en x1<x2 dan moet x1<e zijn en x2>e.

Als ook nog moet gelden dat x1 en x2 gehele getallen zijn dan hoef je alleen maar te onderzoeken x1 = 0,1 of 2.

[A.Square]

log(y)/y = log(x)/x.

Dus met f(x) = log(x)/x

Die stap snap ik niet, waar ga je met log(y) naartoe?

f`(x) = (1 - log(x))/x^2

f`(x) = 0 precies dan als x = e.

Dat is toch als x=10? want:

(1 - log(x))/x^2 = 0 als

1-log(x) = 0

log(x)=1

x=10

Ik had de vraag misschien duidelijker moeten stellen:

Want ik vraag me namelijk af hoe je y kunt isoleren, ds van de vorm y=....x....

Ik weet al dat y=x één van de juiste vergelijkingen is, maar er moet er nog één zijn omdat de punten (2;4) en (4;2) (twee keer hetzelfde punt gespiegeld in de lijn y=x) niet op deze lijn liggen

[TD]

Ik had de vraag misschien duidelijker moeten stellen:

Want ik vraag me namelijk af hoe je y kunt isoleren, ds van de vorm y=....x....

Nee, dat kan hier niet.

[PeterPan]

Ja, dat kan hier wel.

Even opnieuw:

x^y = y^x

y ln (x) = x ln(y)

ln(y)/y = ln(x)/x.

Dus als (x,y) een oplossing is van x^y=y^x, dan is (x,y) ook een oplossing van ln(y)/y = ln(x)/x en omgekeerd.

Ik toon aan dat y een FUNCTIE is van x. Dat is niet zomaar vanzelfsprekend, want op x=123 zouden er wel eens 99 y-oplossingen kunnen passen!

Om verwarring te voorkomen gebruik ik even niet de letters x en y maar

x1 en x2.

Ik ga eerst eens kijken of ik alle paren (x1,x2) kan vinden met

ln(x1)/x1 = ln(x2)/x2.

Als me dat lukt, dan kan ik ook wel y (x2) als functie van x (x1) schrijven.

ln(x1)/x1 = ln(x2)/x2 kan ik ook als volgt formuleren:

Als f(x) = log(x)/x

dan zoekt ik waarden x1 en x2 met f(x1) = f(x2).

Daartoe onderzoek ik functie f. Differentieren geeft:

f`(x) = (1 - ln(x))/x^2

f`(x) = 0 precies dan als x = e.

f`(x)>0 als x<e en f`(x)<0 als x>e.

f stijgt als x<e en daalt voor x>e.

Dus als f(x1) = f(x2) en x1<x2 dan moet x1<e (en x1>1) zijn en x2>e.

Dus als 1<x<=e dan is er precies 1 y met x^y = y^x en y>=e.

en als x>=e, dan is er precies 1 y met x^y = y^x met 1<y<=e.

y is dus een functie van x.

"We" kunnen een machtreeks ontwikkelen voor y in e:

y = e - (x-e) + 5/(3e).(x-e)^2 + 25/(9e^2).(x-e)^3 + 1253/(270e^3).(x-e)^4 + ...

[TD]

Ik vermoed dat de topicstarter doelde op een "eenvoudig" voorschrift van de vorm 'y = f(x)', maar niet op een reeksontwikkeling voor f(x).

Ik heb het verder niet nagelezen maar als die reeksontwikkeling klopt en alle oplossingen levert, dan is het goed natuurlijk.

[Safe]

Misschien is het voor de vraagsteller het eenvoudigst als hij (?) met de GR de functie y=ln(x)/x tekent. Zo kan dan bij een gekozen x tussen 1 en e de y-waarde als horizontale lijn worden getekend. Daarna kan met 'CALC' de tweede x-waarde (>e) worden bepaald.

Opm: benieuwd naar de reactie van ... .

[TD]

Ja, dat kan hier wel.

Even opnieuw:  

x^y = y^x  

y ln (x) = x ln(y)  

ln(y)/y = ln(x)/x.  

[...]

y is dus een functie van x.

Hoe kan x^y = y^x nu een functie zijn (y van x of omgekeerd, toch symmetrisch - en dus geschreven worden als y = f(x)) als bij de x-waarde 2 al twee y-waarden horen, namelijk 2 en 4. Zowel (2,2) als (2,4) voldoen, en dat lijkt me in tegenspraak met het zijn van een functie.

[Rogier]

Hoe kan x^y = y^x nu een functie zijn (y van x of omgekeerd, toch symmetrisch - en dus geschreven worden als y = f(x))

Hij bedoelt x2 als functie van x1. Zo'n functie is er inderdaad en heeft als domein (1, ){e}, en is 'symmetrisch' in de zin dat f(x1)=x2 f(x2)=x1 (m.a.w. is zijn eigen inverse). Zo geldt f(2)=4 en f(4)=2.

Deze functie is niet analytisch oplosbaar, je kunt hem wel met de Lambert W-functie uitdrukken.

In Maple kun je de oplossingen als volgt krijgen:

f := x->-x*LambertW((signum(log(x)-1)-1)/2,-1/x*log(x))/log(x);

voor iedere x>1 (x[ongelijk]e) geeft f(x) de waarde y waarvoor x^y = y^x

[TD]

Hij bedoelt x2 als functie van x1. Zo'n functie is er inderdaad en heeft als domein (1, ){e}, en is 'symmetrisch' in de zin dat f(x1)=x2 f(x2)=x1 (m.a.w. is zijn eigen inverse). Zo geldt f(2)=4 en f(4)=2.

Maar x1 en x2 waren toch gewoon andere benamingen voor x en y, of begreep ik hem verkeerd?

("Om verwarring te voorkomen gebruik ik even niet de letters x en y maar x1 en x2.")

In dat geval heb je naast f(2) = 4 toch ook f(2) = 2? Zowel (2,4) als (2,2) voldoen aan het oorspronkelijke voorschrift.

[PeterPan]

Er is een oninterressante triviale oplossing y=x.

We zoeken naar een niet triviale oplossing.

We zoeken naar waarden x1 en x2 (zeg met x1<x2) waarvoor

ln(x1)/x1 = ln(x2)/x2.

[TD]

Dát is natuurlijk wat anders, ik las nergens dat je de oplossing x = y buiten beschouwing liet. Zo kon het natuurlijk onmogelijk een functie zijn.

Als we enkel de 'andere' oplossingen beschouwen, dan is het inderdaad een functie.

[Rogier]

Maar x1 en x2 waren toch gewoon andere benamingen voor x en y, of begreep ik hem verkeerd?  

("Om verwarring te voorkomen gebruik ik even niet de letters x en y maar x1 en x2.")

In dat geval heb je naast f(2) = 4 toch ook f(2) = 2? Zowel (2,4) als (2,2) voldoen aan het oorspronkelijke voorschrift.

Sorry voor de verwarring, PeterPan z'n f was iets anders dan de mijne

Zijn f was f(x)=x/log(x) en hij zocht (verschillende) waarden x1 en x2 zodat f(x1)=f(x2). Onderaan concludeert hij terecht het bestaan van een functie y(x) die bij een gegeven x een ander getal y geeft zodat f(x) = f(y), en zo'n functie y(x) is wat ik f(x) noemde.

Bij iedere x>1, x[ongelijk]e is er precies één y[ongelijk]x is waarvoor x^y=y^x. Dus ook al voldoet behalve (4,2) ook (2,2) aan de oorspronkelijke vergelijking (al liet A.Square impliciet al wel merken dat hij eigenlijk naar oplossingen met verschillende getallen zocht), als je die eis er expliciet bij stelt dan is f een welgedefinieerde functie.

[A.Square]

Ik heb een grafiek gemaakt van de situatie mbv Winplot. Die kan namelijk na veel sputteren en kreunen een impliciete functie (te weten: x^y=y^x) uitspugen zonder dat je eerst de y hoef te isoleren.

Nu zie ik de grafiek natuurlijk de lijn y=x, maar ook nog een andere lijn die verdacht veel op een hyperbool lijkt met de asymptoten y=1 en x=1 (wat logisch is als je naar de vergelijking kijkt)

Ik heb in de afbeelding de punten (2;4), (e;e) en (4;2) gemarkeerd.

http://www.freewebs.com/phantommie/x%5Ey=y%5Ex.JPG

Ik hoop dat iedereen nu begrijpt wat ik bedoel

(de vergelijking van de hyperbool dus in de vorm van y=...x...)

[TD]

Helaas is het geen 'eenvoudige' hyperbool, maar iets ingewikkelder dan dat.

Zoals al eerder vermeld kan het beschreven worden met de Lambert-W functie, zie daarvoor de pagina op Mathworld of ook hun pagina over Power, halverwege wordt daar melding gemaakt van het voorschrift a^b=b^a.