Bewijs goniometrie: bijv. cos(1/2pi - t) = sin(t)

[Math]

Ik ben benieuwd hoe met deze problemen aanpakt en oplost.

Er wordt de laatste tijd redelijk veel gevraagd over goniometrie en over dit soort sommen van G&R NG/NT4. Daar komen ze in namelijk.

Vandaar dat ik met deze topic veel vragen voor wil zijn voordat het eindexamen er weer aankomt en dit soort vagen toch wel de revue zullen passeren.

Dus...

Bewijs

1. cos( ¹/₂ - t ) = sin ( t )

2. sin( ¹/₂ - t ) = cos ( t )

Alvast deze 2 maar. Dit moet een soort van opvangtopic worden over dit soort "eindexamenstofvragen".

[TD]

Dat zijn toch evidente identiteiten van complementaire hoeken?

Anders bewijs je ze bijvoorbeeld met de formules voor goniometrische functies van een som van hoeken, dat is gewoon invulwerk dan.

[PeterPan]

De "moeilijkste":

Als je de sinusgrafiek /2 naar rechts schuiven, dan krijg je de cosinusgrafiek op zijn kop.

Dus

sin(t) /2 naar rechts schuiven geeft

sin(t - /2). Deze grafiek om de x-as spiegelen geeft

-sin(t - /2) en dat is dus cos(t).

cos(t) = -sin(t - /2) = {sin is een oneven functie} sin( /2 - t)

[rodeo.be]

Ik ben benieuwd hoe met deze problemen aanpakt en oplost.

Er wordt de laatste tijd redelijk veel gevraagd over goniometrie en over dit soort sommen van G&R NG/NT4. Daar komen ze in namelijk.

Vandaar dat ik met deze topic veel vragen voor wil zijn voordat het eindexamen er weer aankomt en dit soort vagen toch wel de revue zullen passeren.

Dus...

Bewijs

1. cos( ¹/₂ - t ) = sin ( t )

2. sin( ¹/₂ - t ) = cos ( t )

Alvast deze 2 maar. Dit moet een soort van opvangtopic worden over dit soort "eindexamenstofvragen".

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b), nu is a=¹/₂ , en b=-t:

cos( ¹/₂ - t )=cos(¹/₂ )cos(-t)-sin(¹/₂ )sin(-t); nu is de cosinus van 90° nul, en de sinus ervan 1; het geeft:

=-sin(-t)

[Math]

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b), nu is a=¹/₂ , en b=-t:

cos( ¹/₂ - t )=cos(¹/₂ )cos(-t)-sin(¹/₂ )sin(-t); nu is de cosinus van 90° nul, en de sinus ervan 1; het geeft:

=-sin(-t)

= sin(t)

Juist.

Dat dacht ik ook al: we hebben nu al meerdere manieren om dit soort opgaven op te lossen. Substitutie zou ook nog een mogelijkheid zijn.

Noem A = ... etc.

[rodeo.be]

of zo

Code: Selecteer alles

> convert(sin(t),exp);



> subs(t=Pi/2-t,%);



> simplify(%);







                            /              1    



                     -1/2 I |exp(t I) - --------|



                                       exp(t I)/











                   /    / Pi   	            1        



            -1/2 I |exp(|---- - t| I) - -----------------|



                   |     2      /          / Pi   	 |



                   |                    exp(|---- - t| I)|



                 	                       2      /   /











                                cos(t)







>

(sorry, geen goesting om die exponenten uit te typen)

[Safe]

Je kunt deze formule ook opvatten als de spiegeleigenschap van bissectrice van het eerste en derde kwadrant in de eenheidscirkel.

[PeterPan]

Je kunt deze formule ook opvatten als de spiegeleigenschap van bissectrice van het eerste en derde kwadrant in de eenheidscirkel.

Ik denk dat dit de aangewezen manier om de formules aan te tonen.

Sinus en cosinus worden doorgaans geintroduceerd met behulp van de eenheidscirkel.