x^y = y^x

[Rogier]

Ik heb een grafiek gemaakt van de situatie mbv Winplot. Die kan namelijk na veel sputteren en kreunen een impliciete functie (te weten: x^y=y^x) uitspugen zonder dat je eerst de y hoef te isoleren.

Nu zie ik de grafiek natuurlijk de lijn y=x, maar ook nog een andere lijn die verdacht veel op een hyperbool lijkt met de asymptoten y=1 en x=1 (wat logisch is als je naar de vergelijking kijkt)

Precies, die twee lijnen kun je dus zien als de grafieken van de twee functies die de oplossingen geven: de rechte lijn geeft bij iedere x de 'triviale' oplossing (y=x) en de andere functie geeft bij iedere x de andere oplossing (y[ongelijk]x tenzij x=e).

Ik hoop dat iedereen nu begrijpt wat ik bedoel    

(de vergelijking van de hyperbool dus in de vorm van y=...x...)

De functie is niet op die manier op te schrijven. Wel met "kunstmatige" functies (zie mijn functie van hierboven, die gebruikt maakt van de Lambert W-functie) maar hij is niet analytisch uit te drukken.

Ik vraag me eigenlijk af of er behalve (2,4) nog andere rationale of algebraïsche oplossingen zijn... (denk het niet)

[A.Square]

De functie is niet op die manier op te schrijven. Wel met "kunstmatige" functies (zie mijn functie van hierboven, die gebruikt maakt van de Lambert W-functie) maar hij is niet analytisch uit te drukken.

Lambert-W functie heb ik geen kaas van gegeten, ik zal het eens aan mijn wiskundeleraar vragen.

Ik vraag me eigenlijk af of er behalve (2,4) nog andere rationale of algebraïsche oplossingen zijn... Question (denk het niet)

Kweenie, het enige zinnige dat ik zeggen kan is dat gezien de asymptoot (2;4) en (4;2) de enige oplossingen zijn met gehele getallen voor y<>x

[JVV]

Ik vraag me eigenlijk af of er behalve (2,4) nog andere rationale of algebraïsche oplossingen zijn...  (denk het niet)

Als mijn stappen hieronder correct zijn zijn 2 en 4 inderdaad de enige oplossingen met x<>y.

Een voorwaarde die moet gelden, als de vergelijking moet kloppen is dat de linkse en rechtse zijden alletwee even of oneven moeten zijn. Dus x en y zijn beide even of oneven.

Omdat we opzoek zijn naar oplossingen waarbij y en x niet even groot zijn, stel ik y=x+2q. Je krijgt dan;

x^(x+2q)=(x+2q)^x met x, y en q > 0

(x^x)(x^2q)=(x+2q)^x

delen door x^x geeft;

x^2q = ((x+2q)/x)^x

We wilden dat de macht links en het grondgetal rechts gelijk waren dus;

2q=(x+2q)/x =>

2qx=x+2q =>

q=x/2(x-1)

Voor x geldt dat hij even moet zijn omdat hij deelbaar is door 2. En x moet groter zijn dan 2(x-1), zodat bij deling een geheel getal q overblijft. 2(x-1) zal harder groeien dan x. x is groter tot x=2(x-1) => x=2

De enige oplossing hier is;

x=2 en q=1

Dus de enige oplossing met x<>y is 2^4=4^2

[Rogier]

Ik vraag me eigenlijk af of er behalve (2,4) nog andere rationale of algebraïsche oplossingen zijn...  (denk het niet)

Als mijn stappen hieronder correct zijn zijn 2 en 4 inderdaad de enige oplossingen met x<>y.

Ik bedoelde eigenlijk algebraïsche getallen

Dus niet alleen gehele getallen, maar ook breuken en samenstellingen met wortels (nulpunten van veeltermen).

Overigens had het bewijs voor gehele getallen makkelijker gekund: uit PeterPan z'n verhaal volgde al dat als x^y=y^x, dan x<e en y>e of omgekeerd (en allebei > 1). Dus omdat één van de twee oplossingen tussen 1 en e moet liggen, kan het (als je naar gehele getallen zoekt) alleen maar 2 zijn

Zonder de beperking op gehele getallen zijn er oneindig veel oplossingen,

zoals x=5 en 1.764921915, x=6 en y=1.624243846, enz.

Er is vreemd genoeg trouwens nog een andere serie oplossingen! Die pagina op MathWorld noemt alleen die voor 2, maar voor ieder even getal x is er ook een negatief getal y wat aan x^y=y^x voldoet.

Namelijk y = -x*LambertW(1/x*log(x))/log(x))

Dat geeft:

2 -0.766664695962124

4 -0.766664695962124

6 -0.789876856921644

8 -0.810118826501416

enz.. (die bij 2 en 4 is zelfs hetzelfde!)