Cirkelbeweging onmogelijk in SRT?

[tuander]

Ik ga er eigenlijk van uit dat je met SRT cirkelbeweging niet kunt beschrijven. Desondanks ben ik toch geïnteresseerd in analyses van crikelbewegingen. Ook omdat cirkelbewegingen veel voorkomen in combinatie met SRT, zoals ringvormige deeltjesversnellers, en klokken in GPS-satellieten. Ik ben dan geïnteresseerd in de vraag of er dan in die situaties toch delen van SRT zijn die nog bruikbaar blijken.

Bij cirkelbeweging zit ik met een vraag over de constantheid van lichtsnelheid, en over het al dan niet mogelijk zijn van Lorentz-contractie voor bewegende objecten langs de omtrek van een cirkel. Want zonder lorentz-contractie is de lichtsnelheid niet constant, durf ik te stellen. Ook zit ik met de vraag of bewegende lichtklokken nou een tijddilatatie ondergaan met een grootte van de lorentz-factor, ongeacht of SRT nou geldt of niet in dit soort situaties (roterende referentiestelsels)?

Daarvoor had ik soort van idee ontworpen van twee parallelle spiegels, cirkelvormig, waartussen je lichtstralen heen en weer laat kaatsen. Een soort grote lichtklok. Vervolgens definiëer je een bewegende waarnemer langs de omtrek van deze cirkelvormige spiegel. En één route van deze kaatsende lichtstralen laat je plaatsvinden tangentiaal (geel) langs de omtrek van de cirkel. Vervolgens kaats je ook een lichtstraal, op vergelijkbare wijze tussen de twee spiegels, radiaal (groen) naar het midden van de cirkel. En vandaaruit kaats je deze radiale lichtstraal ook naar de verwachte eindpunten van het experiment, op een hoek van 114,59 graden. Op dit punt verwacht je dat de beide routes tegelijkertijd uitkomen, de afstand langs de omtrek van de cirkel is hier gelijk aan de diameter van de cirkel. Er zijn twee van deze eindpunten denkbaar. 1 route upstream(rood), en 1 route downstream(paars)(haal ik die nou door elkaar?).

Mijn idee is om met deze setup te kijken of dit gedachten-experiment bruikbaar is om mijn vragen te beantwoorden. Het idee is nog niet helemaal af, geloof ik, er valt nog veel aan te sleutelen. Zo zou je de spiegels ook kunnen laten roteren. Of je zou de 'radiale'route' ook iets kunnen 'optillen' in verticale richting, (als het dak van een ronde circustent) zodat deze radiale route langer wordt (bijvoorbeeld met als doel om het eindpunt van het experiment op 120 graden te laten uitkomen.

In eerste instantie denk ik dat de eindpunten van dit experiment (t=6), langs rood en paars, zich in het stilstaande stelsel precies midden bevinden rondom de positie van de bewegende zwarte stip op t=0. Het bewegende stelsel is in deze tijd (delta(t)=6) echter verder bewogen, waardoor in het bewegende stelsel het zwarte punt zich wellicht niet midden tussen deze 2 eindpunten bevindt. Nou weet ik dat Einstein bij SRT met rechtlijnige beweging, dit probleem soortgelijk oplost met gelijktijdigheid, Gelijktijdigheid geldt niet voor deze twee gebeurtenissen voor deze twee waarnemers. Maar, hoe zit dat dan met de radiale lichtstraal?? Daarvoor moet toch ook de constante lichtsnelheid gelden? Dus dan zouden de twee eindpunten toch gelijktijdig moeten zijn? Ook in het bewegende stelsel? Is daar al een antwoord op mijn vraag of lichtsnelheid wel constant kan zijn bij roterende stelsels?

[wnvl1]

Ik ga er eigenlijk van uit dat je met SRT cirkelbeweging niet kunt beschrijven.

Toch wel. SRT beschrijft alle bewegingen in een vlakke ruimtetijd, inclusief niet-inertiële bewegingen zoals cirkelbeweging.

[tuander]

Ik ga er eigenlijk van uit dat je met SRT cirkelbeweging niet kunt beschrijven.

Toch wel. SRT beschrijft alle bewegingen in een vlakke ruimtetijd, inclusief niet-inertiële bewegingen zoals cirkelbeweging.

Zou u dat kunnen toelichten? Zoals je kunt zien in de tekening bevindt het bewegende zwarte punt(gebeurtenis in ruimtetijd) op t=6 zich NIET midden tussen de rode punt en de paarse punt op t=6. Terwijl deze rode punt en paarse punt wél gelijktijdig zijn (nogmaals t=6), en het licht, via de rode en paarse tangentiaalroutes ook wél van het zwarte punt naar zowel het rode punt als het paarse punt gereisd is. Vanuit symmetrie overwegingen in een cirkelvorm kun je ook niet al te veel veranderen aan deze afstanden. De x'-as roteren t.o.v. de x-as, zoals Einstein doet bij eenparige rechtlijnige beweging, is ook NIET mogelijk bij cirkelbeweging binnen de cirkelvorm, anders zou je voor het zwarte beginpunt, verschillende t'-waardes krijgen op t=0. kortom, de t'-waardes van de gebeurtenissen op de cirkelrand met gelijke t-waarde, moeten op enig moment dezelfde ook wel bijna allemaal dezelfde t'-waardes zijn. Veel ruimte is er niet. Met andere woorden, op deze manier kun je geen cirkelbeweging beschrijven zonder het creëren van interne tegenstellingen. Dit komt allemaal doordat de cirkelvorm nou eenmaal een van de meest symmetrische vormen is in de meetkunde.

En, simpelweg gezegd, een verschillende afgelegde afstand door het licht, in dezelfde tijd, delta (t) = n*delta(t')= 6s, resulteert toch echt in een niet-constante lichtsnelheid. En dát gegeven is strijdig met het uitgangspunt van SRT. Als u denkt dat dit anders is, hoor ik graag uw toelichting.

[wnvl1]

De lokale snelheid van licht is de snelheid die je meet als je héél dichtbij kijkt, in een klein stukje ruimte. Daar merk je niks van zwaartekracht of versnelling en dan is de lichtsnelheid altijd precies c.

De coördinatensnelheid van licht is iets anders: dat is de snelheid die je krijgt als je kijkt over een grotere afstand en tijd, in een systeem dat zelf misschien versnelt of krom is door zwaartekracht. In dat geval kan de snelheid van het licht schommelen, dus die is niet altijd c.

Dat is wat je vermoedelijk probeert aan te tonen.

[HansH]

En vandaaruit kaats je deze radiale lichtstraal ook naar de verwachte eindpunten van het experiment, op een hoek van 114,59 graden.

hoe kom je aan die 114,59 graden?

[tuander]

die 114,59 is euclidisch, in het stilstaande stelsel.

de omtrek van de cirkel = 2*pi*r
de zelfde afstand langs de omtrek correrspondeert met 360 graden
de diameter van de cirkel is 2 keer de radius

die zelfde afstand van 2*r zet je uit langs de omtrek van de cirkel, dat is dan 360/pi=114,59 graden

Verder doe ik nog een aantal aannames. waar je misschien vraagtekens bij kan zetten. Maar die mij zelf vrij veilig lijken.

• Zo ga ik er van uit, een beetje blindelings, dat cirkels dusdanig symmetrisch zijn, dat ook voor het roterend referentiestelsel deze zelfde hoek geldt. Of je dat nou relativistisch beschouwt of euclidisch.

• Zo denk ik dat het licht langs de tangentiale rode route, dezelfde afstand aflegt als het licht langs de tangentiale paarse route, gemeten vanuit het niet-roterende stelsel.

• Ruimte voor het niet opgaan van gelijktijdigheid zie ik niet, binnen de symmetrische vorm van de cirkel. Dus als het rode punt op t=6 staat volgens de stilstaande waarnemer, en het paarse punt staat ook op t=6 voor de stilstaande waarnemer, dan zijn deze twee punten, gelijktijdige 'gebeurtenissen' in het stilstaande stelsel. Maar dan dus meteen ook in het roterende stelsel.

• Om afstanden en tijden langs de cirkel te analyseren voor bewegende waarnemers, vul ik de ringvorm vaak gelijkmatig met een x-aantal rondgaande deeltjes, en een gelijk aantal stilstaande stations. 'De afstand tussen de deeltjes MOET dan precies gelijk zijn aan de afstanden tussen de stations.' althans, gelijk afstanden zoals gemeten door alle waarnemers in een specifiek stelsel.

Dit maakt het lastig, of misschien onmogelijk om SRT toe te passen.

Lorentz-contractie is ook nog erg lastig toe te passen binnen de zeer symmetrisch vorm van een cirkelbeweging.

En dan definieer ik de langzaam bewegende waarnemer, de zwarte stip. En ga deze hele situatie bekijken vanuit de relatieve positie van deze stip. En dan noteer ik dat de zwarte stip op t=6, niet midden staat tussen de paarse en rode stip op t=6. c.q. lichtsnelheid is niet constant in deze analyse voor cirkelbeweging

Het enige wat ik nog denk te kunnen doen, om dit puzzelstukje te laten passen bij de puzzelstukjes van SRT, is alle bewegende waarnemers een tijddilatatie (langzamer lopende klokken) mee te geven, met de lorentz-factor. Dit verandert verder niet zo heel veel aan de eerdere analyse.

Ik weet, ik sta pas, met mijn beperkte kennis, aan het begintraject van het analyseren van cirkelbeweging.

[Gast]

Ik ga er eigenlijk van uit dat je met SRT cirkelbeweging niet kunt beschrijven.

Ondanks de topics over een "Circular Twin Paradox" variant, waar je toch aan deelgenomen had?

Je laatste reactie lijkt voor een deel daar wat op.

Dus zie daarvoor bijvoorbeeld hier:

viewtopic.php?p=1268563#p1268563

Al kon de notatie iets beter/duidelijker. En daarmee vooral dus zie 'Born coordinates' voor dergelijke vraagstukken. (Is wel vrij veel en/of een stuk ingewikkelder dan inertiële Minkowski coördinaten.)

Born-rigid beweging is echter lang niet altijd gewenst, of zelfs maar mogelijk, zoals je zelf al aangeeft met "lengte contractie". Al is dat in werkelijkheid volledig verwaarloosbaar voor macroscopische objecten, maar niet voor deeltjes, en bijvoorbeeld relevant in 'relativistic quantum chemistry'. Wat een vak apart is, maar via een Google search zul je al gauw dingen lezen over 'relativistic contraction' of betrekking daarop hebbende termen.


Dus afhankelijk van je probleem of vraagstuk kun je dan Fermi-Walker-transport of Fermi-normale coördinaten gebruiken.

Die beschrijven de lokale omgeving van één willekeurig versnelde waarnemer.
Daarin blijft de metriek lokaal Minkowskiaans:
  

\(ds² ≈ −c²dτ² + dx² + dy² + dz²\)

Of in plaats van vaste Born-coördinaten kun je een niet-rigide roterend frame gebruiken met tijdafhankelijke hoeksnelheid:
  

\(φ′ = φ − ∫ ω(t) dt\)

Zo laat je de metriek meebewegen met de tijd, zonder Born rigidity.


Of je kunt simpelweg gewoon in Minkowski-ruimte blijven met willekeurige coördinaten:
  

\(ds² = η_{μν} dx^μ dx^ν\)

waarbij de coördinaten tijd- en ruimteafhankelijk mogen zijn,
\((t, xᵢ) → (t′(t, xᵢ), x′ⱼ(t, xᵢ)).\)


Dat is dezelfde vlakke ruimtetijd die je ook gebruikt in een Minkowski-diagram; je kunt desgewenst coördinaten kiezen die meebewegen of draaien met het systeem, maar dat hoeft niet, cirkelbeweging kan ook prima in standaard inertiële Minkowski-coördinaten worden beschreven.

[Gast]

PS.

Hopelijk heb ik hiermee ook je vragen in de OP beantwoord. Toch nog even "kort" en expliciet daarover. Dus uit OP:

Bij cirkelbeweging zit ik met een vraag over de constantheid van lichtsnelheid, en over het al dan niet mogelijk zijn van Lorentz-contractie voor bewegende objecten langs de omtrek van een cirkel. Want zonder lorentz-contractie is de lichtsnelheid niet constant, durf ik te stellen. Ook zit ik met de vraag of bewegende lichtklokken nou een tijddilatatie ondergaan met een grootte van de lorentz-factor, ongeacht of SRT nou geldt of niet in dit soort situaties (roterende referentiestelsels)?

De lokale lichtsnelheid in vacuum \(c\) is niet alleen constant, maar invariant en één van de pilaren waar de gehele speciale en algemene relativiteitstheorie op gebaseerd is. Dus dit geldt ook bij rotatie/cirkelbeweging. In een roterend coördinatenstelsel kan de coördinatensnelheid van licht schijnbaar variëren, maar dat is geen schending van de SRT (is niet tegenstrijdig met een constante waarde voor \(c\)).

Lorentz-contractie is in een roterend stelsel niet eenduidig voor een volledige schijf te definiëren, omdat er geen globale Born-rigiditeit bestaat (zie het Ehrenfest-paradox).
Lokaal treden er echter wél Lorentz-contracties op, elk punt op de rand heeft immers een lokale snelheid en ervaart overeenkomstige tijdsdilatatie en lengtecontractie, wat in de praktijk ook optreedt (bijv. in relativistische kwantumchemie. Zie mijn eerdere post eventueel).

Tijdsdilatatie vindt wel plaatst. Klokken aan de omtrek lopen trager via de bekende Lorentz factor \(\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}\); dat is experimenteel bevestigd (Mössbauer- en Sagnac-experimenten).

En wat betreft je model. Goed bedacht verder, maar het loopt inhoudelijk spaak op een aantal punten:

1. Je gebruikt één globale tijd op de rand, terwijl dat bij rotatie niet kan (geen universele gelijktijdigheid, dus ook bepaalde coördinatenafstanden kun je niet als gelijktijdig gemeten behandelen).

2. Je verwart lokale lichtsnelheid met coördinatensnelheid; de eerste blijft \(c\), de tweede hoeft dat niet te lijken.

3. Je neemt Born rigidity impliciet aan voor de hele schijf, wat onmogelijk is in SR.

4. Je verwacht symmetrie in aankomsttijden, terwijl er juist een Sagnac-tijdsverschil optreedt.
  
(En nog iets, maar dat wordt alleen maar verwarrend ben ik bang.)

Dus er is niets mis met SRT hier. Het probleem zit in de aannames van je model, niet in de theorie zelf.
Je hoeft dus geen alternatief model te verzinnen tenzij je er gewoon plezier in hebt, maar...

Je model vertrekt van een paar te sterk vereenvoudigde aannames, zoals één globale tijd en eenduidige afstandsdefinities, die in een roterend (niet-inertiaal) stelsel niet gelden. Daardoor ontstaan er tegenstrijdigheden in je model, niet in de SRT zelf.

[HansH]

Ondanks de topics over een "Circular Twin Paradox" variant, waar je toch aan deelgenomen had?

voor mij gaat dat stukje al problemen geven vanwege een gat in mijn kennis. ik zou eerst meer feeling moeten krijgen voor hoe de metriek uberhaupt werkt en transformeert van bv vlakke ruimtetijd naar gekromd en bv cirkelbeweging. kan dus zijn dat dat bij tuander ook het probleem is. je kunt niet zomaar in het diepe stappen zonder eerst goed te leren zwemmen. alleen hoe leer je zwemmen uit een boekje zonder zweminstructeur?