[wiskunde] integralen / integreren

[Math]

Met de loop der tijd komen onderwerpen en gaan onderwerpen. Sommige blijven echter terugkomen. Vanuit wiskunde is een van die onderwerpen integreren / integralen berekenen.

Een hele poos terug heb ik getracht om één gezamenlijk topic hiervoor te maken, deze is echter weer schrikbarend naar beneden gezakt en jammer genoeg is er te veel onbruikbare dingen tussendoor gekomen. Het onderwerp zelf is momenteel weer meer in de aandacht en vandaar dit nieuwe, blijvende (want sticky) topic: Integralen / Integreren.

Deze topic is in het bijzonder bedoeld voor opgaven van enkelvoudige integralen, niveau van de middelbare school. Voor specifieke, moeilijkere opdrachten uit het hoger onderwijs (die meer ingaan op de theorie, of waarbij meervoudige, lijn- of oppervlakteintegralen bij komen kijken), mag je ook een aparte topic starten.

Let op: post wel netjes en duidelijk. Je post wordt bewaard en geldt tevens als "archief" voor nieuwe vragen, want aan dubbele vragen hebben we niets, daar wordt dit topic alleen maar langer en onoverzichtelijker door. Uiteraard geldt dit ook voor antwoorden!

Alvast bedankt voor de medewerking!

[Antoon]

Net wat ik zoek.

Stel ik heb de formule

dA=W*E*dG

dan wil dat dus zeggen dat als ik een "fatsoenlijk" antwoord wil krijgen voor A dat ik dan voor G moet gaan intergreren.

dus dan wordt het:

A=W*E* G

en stel W=6 en E=9

en ik moet G intergreren van 8 tot 12. hoe doe ik dit dan?

[TD]

Opletten met je notatie, zolang die integraal daar rechts staat heb je ook nog een "d(iets)", dG wordt dus geen G voor het integreren. Bovendien mogen W en E alleen buiten de integrand gebracht worden als ze niet van de integratieveranderlijke afhangen (maar voor constanten geldt dat natuurlijk).

dA = W*E dG

dA = W*E dG

A = W*E dG

dG met G van 8 tot 12 is gewoon 12-8 = 4.

[Antoon]

dus het antwoord word dan

A=W*E*4=6*9*4=216?

maar dit is dan toch niet de oppervlakte onder de grafiek van G=8 tot G=12 ? wat je met intergreren toch probeert de berijken?

[TD]

dQ (met Q eender wat) tussen de grenzen a en b is steeds b-a.

[Antoon]

vreemd. Ik dacht dat je met intergreren de oppervlakte inder een grafiek wilt bepalen. Wat kun je dan met intergreren?

[TD]

Dat kun je ook. Als je bijvoorbeeld een functie f(x) hebt dan is f(x) dx inderdaad de oppervlakte tussen f(x) en de x-as, binnen je grenzen.

Wat jij echter integreerde was geen functie f(x), maar gewoon "1 d("veranderlijke")".

Het is inderdaad zo dat de oppervlakte de meest elementaire interpretatie is van integreren, maar je kunt er daarnaast nog veel meer mee (berekenen).

[Antoon]

Wat jij echter integreerde was geen functie f(x), maar gewoon "1 d("veranderlijke")".  

huh?

Ik snap er duidelijk niets van.

Ik dacht dat als ik de formule heb

dA=5dB

dA= 5dB

A= 5 B

en ik wil intergreren van 4 naar 5.

dan is dat de oppervlakte onder de formule van B=4 naar B=5.

en omdat hij met stijgt met 5A/B . en de oppervlakte tussen die punten is

O=(0,5*1*5)+(20)=22,5 .

wat doe ik nu fout?

[TD]

Opnieuw opletten met je notatie! Bij een integraal hoort een d('iets'). Zonder d('iets') valt er dus niets te integreren. Dus:

dA = 5dB

dA = 5dB

dA = 5 dB

Nu hangt het ervan af of je bepaalde integralen aan het uitrekenen bent of onbepaalde - dan zou je bvb krijgen: A = 5B + c

Jij wil een oppervlakte, maar waaronder/van wat ?!

Om je oppervlakte-vraagstuk wat concreet te maken. Stel we willen de oppervlakte onder de eerste halve periode van een sinus, dus van 0 tot pi.

_0->pi sin(x) dx = [-cos(x)]_0->pi = -cos(pi) - (-cos(0)) = 1+1 = 2.

Die oppervlakte is dus 2.

[Antoon]

Hoe zit het met termen voor het intergratie teken halen?

kan iemad mij daar wat over vertellen?

[TD]

Het integreren is, net zoals afleiden, lineair; dit betekent dat er geldt:

[int]a f(x) + b g(x) dx = a f(x) dx + b g(x) dx

Je mag dus constante factoren buiten de integraal brengen, i.e. factoren die niet (expliciet of impliciet) afhangen van de integratieveranderlijke.

[Bert F]

Hallo,

Wie kan mij de volgende stappen aanduiden wat is het principe maw wat moet ik nastreven om dergerlijke integralen op te lossen?



Groeten. Dank bij voorbaat.

[TD]

Na de onderlijnde integraal onderlijn je dat gedeelte van -6x+2 = ... Dit is, zoals ervoor geschreven staat, de afgeleide van de uitdrukking onder de wortel die je dan achteraf in de teller gaat vormen.

De 1/[wortel]3 komt er verderop voor de integraal bij omdat er een factor 3 van onder de wortel in de noemer naar voor is gebracht.

De stap die je dan aanduidt is degene waar we precies naartoe gewerkt hebben door die afgeleide in de teller te krijgen. Schrijf het maar eens voluit met de substitutie, dan is het misschien duidelijker.

[Koen2704]

Hoe lossen we volgende integraal op?

dx/(1+x^4)

[TD]

Door splitsing in partieelbreuken. Er zijn helaas geen reële oplossingen, je kan het dan bijvoorbeeld doen door te ontbinden in twee keer een algemene tweedegraadsterm, dan de coëfficiënten bepalen. Dat is wat rekenwerk, niet erg leuk maar verder ook niet belangrijk. Je vindt: 1 + x⁴ = (x² + [wortel]2 x + 1)(x² - [wortel]2 x + 1). Nu splitsen in partiële breuken. Bij dit soort integralen zal je traditioneel een gedeelte hebben met ln als primitieve en een deel met de inverse tangens.