[wiskunde] integralen / integreren

[raintjah]

Leuke opgave. Je kunt het in één keer doen (een substitutie, neem dan een macht (1/12)) maar voor de eenvoud ga ik de integraal in twee splitsen en enkel de eerste tonen, de tweede is analoog. We hebben immers:

\(\int {\frac{{\sqrt[6]{{\frac{x}{{x - 2}}}} - \sqrt[4]{{\frac{x}{{x - 2}}}}}}{{x^2  - 2x}}} dx = \int {\frac{{\sqrt[6]{{\frac{x}{{x - 2}}}}}}{{x^2  - 2x}}} dx - \int {\frac{{\sqrt[4]{{\frac{x}{{x - 2}}}}}}{{x^2  - 2x}}} dx\)

Ik ga verder met de eerste en substitueer:

\(y = \sqrt[6]{{\frac{x}{{x - 2}}}} \Leftrightarrow y^6  = \frac{x}{{x - 2}} \Leftrightarrow x = \frac{{2y^6 }}{{y^6  - 1}} \Leftrightarrow dx =  - \frac{{12y^5 }}{{\left( {y^6  - 1} \right)^2 }}dy\)

Bovendien geldt hiermee (voor de noemer):

\(x^2  - 2x \to \left( {\frac{{2y^6 }}{{y^6  - 1}}} \right)^2  - 2\left( {\frac{{2y^6 }}{{y^6  - 1}}} \right) = \frac{{4y^6 }}{{\left( {y^6  - 1} \right)^2 }}\)

We vullen alles in en integreren eenvoudig:

\(\int {\frac{{\sqrt[6]{{\frac{x}{{x - 2}}}}}}{{x^2  - 2x}}} dx = \int {\frac{y}{{\frac{{4y^6 }}{{\left( {y^6  - 1} \right)^2 }}}}} \frac{{ - 12y^5 }}{{\left( {y^6  - 1} \right)^2 }}dy = \int {\frac{{ - 12y^6 }}{{4y^6 }}} dy =  - 3\int {dy}  =  - 3y + C\)

We substitueren terug en vinden volgend resultaat (ook voor de volledige integraal, op analoge wijze vind je een factor 2 voor de 4^e-machtswortel).

\( - 3y + C \to  - 3\sqrt[6]{{\frac{x}{{x - 2}}}} + C \Rightarrow \int {\frac{{\sqrt[6]{{\frac{x}{{x - 2}}}} - \sqrt[4]{{\frac{x}{{x - 2}}}}}}{{x^2  - 2x}}}  = 2\sqrt[4]{{\frac{x}{{x - 2}}}} - 3\sqrt[6]{{\frac{x}{{x - 2}}}} + C\)

Het zou wel kunnen dat de substitutie nog iets intuïtiever kan om dx naar dy om te zetten, maar zoals hierboven lukt het dus ook.

Proficiat =)

[raintjah]

\( \int e^{ax}\cosbx dx\)

Dat is dus de opgave. En na wat omvormen etc etc kwam ik tot het volgende:

... =

\( \frac{e^{ax}}{a} \cosbx - \frac{e^{ax}}{a^2} \sinxbx - \frac{b^2}{a^2}\int e^{ax}\cosbx\)

Normaal zou je nu

\( -\int e^{ax}\cosbx\)

naar het andere lid brengen zodat je

\( 2\int e^{ax}\cosbx\)

krijgt en dat je het dan verder kan uitrekenen, maar dat gaat nu toch niet met die b²/a² ? Wat moet ik daarmee aanvangen? ;D

**edit**

en als ik het nu eens met de a²/b² overbreng en

\( \int e^{ax}\cosbx\)

buiten haakjes brengen en dan het andere lid weer deel door a²/b²?

[TD]

Als je begint met de integraal I, dan hoef je toch niet precies "iets"-I uit te komen zodat je na overbrenging 2I vindt?

Eender wat van de vorm "iets"+kI is goed zolang k niet gelijk aan is 1, want dan valt I weg.

Overbrengen levert dan I-kI = "iets" dus I = "iets"/(1-k).

[raintjah]

\(\int e^{ax}\cosbx = \frac{\frac{e^{ax}}{a}\cosbx - \frac{e^{ax}}{a^2} \sinbx}{\frac{b^2}{a^2} + 1 }\)

dat is wat ik dan uitkom... en dat is nog niet dicht bij de oplossing. Oplossing:

\(\frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(a\cosbx + b\sinbx) +c \)

Wat doe ik fout?

[TD]

Moeilijk te zien zonder de tussenstappen, maar je hebt sowieso al een tekenfout gemaakt (misschien bij het integreren/afleiden van een sin of cos?)

[raintjah]

\(= \frac{e^{ax}}{a} \cosbx + \int \frac{e^{ax}}{a} b\sinbxdx= \frac{e^{ax}}{a} \cosbx + \frac{e^{ax}}{a^2}\sinbxb - \int \frac{e^{ax}}{a^2} b²\cosbxdx = \frac{e^{ax}}{a} \cosbx + \frac{e^{ax}}{a^2}\sinbxb - \frac{b^2}{a^2}\int e^{ax}\cosbx\)

Zit er tot daar iets fout?

[TD]

Ziet er goed uit:

\(I = \int {e^{ax} \cos \left( {bx} \right)dx} = \frac{1}{a}e^{ax} \cos \left( {bx} \right) + \frac{b}{{a^2 }}e^{ax} \sin \left( {bx} \right) - \frac{{b^2 }}{{a^2 }}I \Leftrightarrow I\left( {1 + \frac{{b^2 }}{{a^2 }}} \right) = \frac{1}{a}e^{ax} \cos \left( {bx} \right) + \frac{b}{{a^2 }}e^{ax} \sin \left( {bx} \right) \Rightarrow \)

\(I = \frac{1}{{1 + \frac{{b^2 }}{{a^2 }}}}\left( {\frac{1}{a}e^{ax} \cos \left( {bx} \right) + \frac{b}{{a^2 }}e^{ax} \sin \left( {bx} \right)} \right) = \frac{{a^2 }}{{a^2 + b^2 }}e^{ax} \left( {\frac{1}{a}\cos \left( {bx} \right) + \frac{b}{{a^2 }}\sin \left( {bx} \right)} \right) = \frac{{e^{ax} \left( {a\cos \left( {bx} \right) + b\sin \left( {bx} \right)} \right)}}{{a^2 + b^2 }}\)

[Bert F]

Mag je zomaar de rol van x en y verwissellen?

\(y = \sqrt[6]{{\frac{x}{{x - 2}}}} \Leftrightarrow y^6  = \frac{x}{{x - 2}} \Leftrightarrow x = \frac{{2y^6 }}{{y^6  - 1}} \Leftrightarrow dx =  - \frac{{12y^5 }}{{\left( {y^6  - 1} \right)^2 }}dy\)

 

groeten.

[TD]

De rollen van x en y worden niet verwisseld, de vergelijking die y in functie van x gaf werd omgeschreven zodanig dat x in functie van y stond (dit is niet altijd mogelijk, hier wel).

[Bert F]

Nu zie ik het ook echt wel een mooie maar kan je nu aantonen of bewijzen dat zoiets zeker op te lossen is of net nie.

Dan weet je iets voor dat je gaat zoeken.

[TD]

Dat weet je op voorhand niet. Je hebt in de analyse wel een stelling behandeld die over dat probleem gaat, de impliciete functie stelling (maar dan geraken we well off-topic hier).

[Bert F]

Bij een gewoone substitutie doe je het volgende:

\(\begin{array}{l} \int {f\left( x \right)f'\left( x \right)dx \to y = f\left( x \right) \Leftrightarrow dy = f'\left( x \right)dx} \Rightarrow \int {ydy} = \frac{{y^2 }}{2} + C = \frac{{f\left( x \right)^2 }}{2} + C \end{array}\)

waarbij je die dx vervangt door

\(\frac {dy}{f'(x)}=dx\)

Daardoor vallen die twee f'(x) gewoon weg

Maar wat gebeurdt er dan met die cos theta ?



Groeten.

[TD]

Wat is nu je vraag of probleem?

Als \(y = \sin x\) dan is \(dy = \cos x dx\).

[Bert F]

onder de wortel komt te staan

\( \cos^2 \)

theta.gif te staan dit kwadraat val weg samen met de wortel nadien vermenigvuldig je dit met die

\(\cos \)

theta.gif vanuit het differentiaal coeficient

ik ben echter meer gewoon dat we substitueren

\(\frac {dy}{f'(x)}=dx\)

waarbij dan die afgeleide staat voor de afleiding van het ding wat we substitueren maw dan delen we het eruit nu vermenigvuldigen we.

Wanneer het één wanneer het ander?

Groeten.

[TD]

Substitutie werkt altijd hetzelfde, alleen zal de afgeleide functie niet altijd al aanwezig zijn in de oorspronkelijke integrand.