[wiskunde] integralen / integreren

[Bert F]

begrijp ik wel maar hoe kan het zijn dat men hier kan vermenigvuldigen met die cos theta.gif ?

Dit kan als je iets hebt in de vorm van 1/x maar hier?

[TD]

Wat bedoel je met 1/x? Hier 'kan' men trouwens niet met cos(t) vermenigvuldigen, dat moet want je moet dx nog schrijven in functie van dt en dat is cos(t)dt.

[Bert F]

ik begrijp je nu volkomen ik zat met iets fout in mijn hoofd.

Het enige wat je idd moet doen is dx afhankelijjk maken van je nieuwe integratie veranderelijke. dat doe je dus zo.

Bedankt. groeten.

[raintjah]

Ik heb de volgende opgave geprobeerd, maar bij de oplossing staat: "te controleren met wiskunde software".

Misschien dat één van jullie dit kan? WAnt ik heb geen wiskunde software..

[raintjah]

Ik heb de volgende opgave geprobeerd, maar bij de oplossing staat: "te controleren met wiskunde software".

Misschien dat één van jullie dit kan? WAnt ik heb geen wiskunde software..

-----------

Vraag 2:

Hoe bewijs je het volgende:

Bewijs dat voor elke f, continu verondersteld in [0,a], geldt

\( \int_0^a f(x)dx = \int_0^a f(a-x)dx \)

[EvilBro]

Hoe bewijs je het volgende:

Bewijs dat voor elke f, continu verondersteld in [0,a], geldt

\( \int_0^a f(x)dx = \int_0^a f(a-x)dx \)

\(\int_0^a f(a-x)dx = -\int_a^0 f(a-x)dx = \int_a^0 f(a-x) (-dx) = \int_a^0 f(a-x) d(a-x)\)

\(u = a-x, u(0) = a, u(a) = 0 \rightarrow \int_0^a f(u) du\)

[Bert F]

mss een heel stomme maar wet welke techniek kan je nu het volgende integreren

\(\int {1/\cos t} dx\)

groeten.

[raintjah]

mss een heel stomme maar wet welke techniek kan je nu het volgende integreren  

\(\int {1/\cos t} dx\)

groeten.

Bedoel je

\(\int {1/\cos x} dx\)

?

of

\(\int {1/\cos t} dt\)

Ik weet dat het een fundamenteel integraal is, namelijk:

\(\int {1/\cos x} dx = \ln|\tan(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2})|\)

Wat je ook kan proberen is dit:

\(\int \frac{1}{\cosx}dx\)

Stel u = cosx <=> du=-sinx <=>-sinx = -sqrt{1-u²}

\(-\int \frac{1}{u}\sqrt{1-u²}du\)

[Bert F]

ik bedoel

\( \int \frac{1}{{\cos}{t}} dt \)

als dit een fudenmenteele integraal is waarom staat die dan niet op mijn lijstje?

heb je zo ook

\( \int \frac{1}{{\sin}{t}} dt \)

en

\( \int \frac{1}{{tg}{t}} dt \)

groeten.

[raintjah]

ik bedoel  

\( \int \frac{1}{{\cos}{t}} dt \)

 

als dit een fudenmenteele integraal is waarom staat die dan niet op mijn lijstje?  

heb je zo ook

\( \int \frac{1}{{\sin}{t}} dt \)

en

\( \int \frac{1}{{tg}{t}} dt \)

groeten.

Ik heb misschien een ander lijstje als jou. Maar probeer hem eens op te lossen zoals ik hierboven heb voorgesteld:

\(\int \frac{1}{\cosx}dx\Rightarrow u = \cosx \Leftrightarrow du=-\sinx \Leftrightarrow -\sinx = -\sqrt{1-u²}\Rightarrow -\int \frac{1}{u}\sqrt{1-u²}du\)

Nu kan je misschien partiële integratie toepassen

\(-\int \frac{1}{u}\sqrt{1-u²}du=-\left(\ln(u)\sqrt{1-u²}-\int \ln(u)\frac{1}{2\sqrt{1-u²}}(-2u)du\right)\)

dan zie je daar een Bgsin verschijnen...

Ik moet wel zeggen dat ik zelf nog geen maand bezig ben met integralen dus.. Ik weet niet of mijn raad wel zo betrouwbaar is

[TD]

ik bedoel  

\( \int \frac{1}{{\cos}{t}} dt \)

 

Je kan dit doen met een klassieke substitutie voor integralen van goniometrische functies, namelijk stel y = tan(t/2) etc. Andere mogelijkheid:

\(\int {\frac{1}{{\cos t}}} dt = \int {\frac{{\cos t}}{{\cos ^2 t}}} dt = \int {\frac{{\cos t}}{{1 - \sin ^2 t}}} dt\mathop \to \limits_{dy = \cos tdt}^{y = \sin t} \int {\frac{1}{{1 - y^2 }}} dy = \int {\frac{1}{{\left( {1 - y} \right)\left( {1 + y} \right)}}} dy\)

Nu splitsen in partiële breuken en dan is het eenvoudig.

\(\frac{1}{2}\int {\frac{1}{{1 + y}}} dy - \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{1 - y}}} dy = \frac{1}{2}\ln \left( {y + 1} \right) - \frac{1}{2}\ln \left( {y - 1} \right) + C = \frac{1}{2}\ln \left( {\frac{{y + 1}}{{y - 1}}} \right) + C\)

Nu terug \(y = \sin t\) erin steken.

[TD]

Ik heb de volgende opgave geprobeerd, maar bij de oplossing staat: "te controleren met wiskunde software".

Misschien dat één van jullie dit kan? WAnt ik heb geen wiskunde software..

Dit antwoord kan niet kloppen, dat is eenvoudig te zien door je uitkomst eens af te leiden en zien of je je integrand terugvindt.

Mogelijkheid:

\(\int {\frac{{\sqrt[3]{{1 + \sqrt[4]{x}}}}}{{\sqrt x }}} dx\mathop \to \limits_{2du = 1/\sqrt x dx}^{u = \sqrt x } 2\int {\sqrt[3]{{1 + \sqrt u }}} du\mathop \to \limits_{du = 2\left( {t - 1} \right)dt}^{t = 1 + \sqrt u } 4\int {\sqrt[3]{t}} \left( {t - 1} \right)dt\)

Machten wat uitwerken, integreren is nu eenvoudig en dan twee keer terug substitueren. Het kan ook in één keer maar dit is overzichtelijk vond ik.

[Bert F]

kan er mij iemand een zetje geven met die y = tg (t/2) ?

wie weet waar ik een zo groot mogelijk (liefst totaal natuurlijk) overzicht krijg van gebruikte goniometrische substituties en relaties om die dan te gebruiken?

Hier is al een begin http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus

Groeten.

[raintjah]

Ik heb de volgende opgave geprobeerd, maar bij de oplossing staat: "te controleren met wiskunde software".

Misschien dat één van jullie dit kan? WAnt ik heb geen wiskunde software..

Dit antwoord kan niet kloppen, dat is eenvoudig te zien door je uitkomst eens af te leiden en zien of je je integrand terugvindt.

Mogelijkheid:

\(\int {\frac{{\sqrt[3]{{1 + \sqrt[4]{x}}}}}{{\sqrt x }}} dx\mathop \to \limits_{2du = 1/\sqrt x dx}^{u = \sqrt x } 2\int {\sqrt[3]{{1 + \sqrt u }}} du\mathop \to \limits_{du = 2\left( {t - 1} \right)dt}^{t = 1 + \sqrt u } 4\int {\sqrt[3]{t}} \left( {t - 1} \right)dt\)

Machten wat uitwerken, integreren is nu eenvoudig en dan twee keer terug substitueren. Het kan ook in één keer maar dit is overzichtelijk vond ik.

Euhm, zit ik tot zover goed?



-----------------------------------------------------------------------------------

En dan had ik nog een opgave waarvan de oplossing niet in het boek staat:

\(\int \frac{x²}{\sqrt[4]{x³+2}}dx \Rightarrow u=x³+2 \Leftrightarrow du=3x²dx \Leftrightarrow \frac{du}{3}=x²dx \Rightarrow \frac{1}{3}\int \frac{1}{\sqrt[4]{u}}du = \frac{1}{3} \left[ \frac{u^{3/4}}{\frac{3}{4}} \right] +C = \frac{4}{9} \sqrt[4]{(x³+2)³}+C\)

Het afleiden brengt mij een foutieve uitkomst.. Maar het kan natuurlijk zijn dat ik fout afleidt of iets dergelijks, want mij lijkt het te kloppen.

------------------------------------------------------------------------------------



Ook hier heb ik geen uitkomst van

[TD]

Ziet er goed uit.