[Wiskunde] Limiet bepalen

[-=zweistein=-]

Een lastige:

lim [ (x+3)*e^(1/(1+x)) - x ]

x->oo

[Comm]

Ik zou zeggen dat de limiet 0 wordt.

e^0 wordt 1 zeg maar

dus (3+x)*1 wordt oneindig groot en daar trek je oneindig groot vanaf dus 0?

zit ik zo ongeveer goed?

[Rogier]

Je kunt hem ook zo schrijven:

\(\lim_{x\rightarrow\infty}[x(e^{1/(1+x)}-1)+3\cdot e^{1/(1+x)}]\)

Nu gaat e^1/(1+x) naar 1 dus dat rechterstuk wordt sowieso 3. Is alleen de vraag hoe hard e^1/(1+x) naar 1 gaat in verhouding tot x[pijltje] . Hard genoeg, want de limiet is 4, maar even kijken welke afschatting je kunt gebruiken om dat te bewijzen

(edit) oh ja, je neemt gewoon

\(e^t=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^n}{n!}\)

, oftewel

\(e^t = 1+t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6}+\cdots\)

Als je dat invult in dat linker stuk van de limiet krijg je

\(x(1+\frac{1}{1+x}+\frac{1}{2(1+x)^2}+\frac{1}{6(1+x)^3}+\cdots-1) = \frac{x}{1+x}+\frac{x}{2(1+x)^2}+\frac{x}{6(1+x)^3}+\cdots\)

en daarvan gaan alle termen behalve de eerste naar 0, en de eerste wordt 1. Plus die 3 van hierboven maakt 4.

[EvilBro]

Een lastige:

lim    [ (x+3)*e^(1/(1+x)) - x ]

x->oo

Ik zou het zo doen (maar of het helemaal mag...):

\(\lim_{x \rightarrow \infty} (x+3)e^{\frac{1}{1+x}}-x = \lim_{u \downarrow 0} (\frac{1}{u}+2)e^u-(\frac{1}{u}-1) = \lim_{u \downarrow 0} \frac{1}{u}(e^u-1)+2e^u+1 = \lim_{u \downarrow 0} \frac{1}{u}(\sum_{n=0}^\infty\frac{u^n}{n!}-1)+2e^u+1\)

\(= \lim_{u \downarrow 0} \frac{1}{u}(\sum_{n=1}^\infty\frac{u^n}{n!})+2e^u+1 = \lim_{u \downarrow 0} \sum_{n=1}^\infty\frac{u^{n-1}}{n!}+2e^u+1 = \lim_{u \downarrow 0} 1 + \sum_{n=2}^\infty\frac{u^{n-1}}{n!}+2e^u+1 = 1 + 0 + 2 + 1 = 4\)

[-=zweistein=-]

Bedankt voor jullie hulp

[dreamz]

Een lastige:

lim    [ (x+3)*e^(1/(1+x)) - x ]

x->oo

Ik zou het zo doen (maar of het helemaal mag...):

\(\lim_{x \rightarrow \infty} (x+3)e^{\frac{1}{1+x}}-x = \lim_{u \downarrow 0} (\frac{1}{u}+2)e^u-(\frac{1}{u}-1) = \lim_{u \downarrow 0} \frac{1}{u}(e^u-1)+2e^u+1 = \lim_{u \downarrow 0} \frac{1}{u}(\sum_{n=0}^\infty\frac{u^n}{n!}-1)+2e^u+1\)

\(= \lim_{u \downarrow 0} \frac{1}{u}(\sum_{n=1}^\infty\frac{u^n}{n!})+2e^u+1 = \lim_{u \downarrow 0} \sum_{n=1}^\infty\frac{u^{n-1}}{n!}+2e^u+1 = \lim_{u \downarrow 0} 1 + \sum_{n=2}^\infty\frac{u^{n-1}}{n!}+2e^u+1 = 1 + 0 + 2 + 1 = 4\)

Hoe ga je juist van

\(e^u\)

naar

\( (\sum_{n=1}^\infty\frac{u^n}{n!})\)

?

[TD]

Dat is 'de' (lees: een mogelijke, veel gebruikte) definitie voor de exponentiële functie.

[dreamz]

Dus

\(e^u\)

=

\( (\sum_{n=1}^\infty\frac{u^n}{n!})\)

en meer zit er niet achter?

[TD]

Dus

\(e^u\)

=

\( (\sum_{n=1}^\infty\frac{u^n}{n!})\)

en meer zit er niet achter?

Het moet volgens mij wel vanaf 0 starten, zie onder andere Mathworld: Exponential function of Wikipedia: Exponential function

[sirius]

Dus

\(e^u\)

=

\( (\sum_{n=1}^\infty\frac{u^n}{n!})\)

en meer zit er niet achter?

Het moet volgens mij wel vanaf 0 starten, zie onder andere Mathworld: Exponential function of Wikipedia: Exponential function

Eigenlijk kun je vele* functies zo schrijven, in ieder geval sinus, cosinus, polynomen, en functies die bestaan uit vermenigvuldiging en delingen van die dingen.

Deze andere schrijfwijze het een Taylor polynoom, waar waarschijnlijk op internet genoeg over te vinden is. De truc van het taylor polynoom is te zeggen dat de functie op een klein stukje lijkt op een rechte lijn. Hij lijkt nog iets beter op een parabool, op een groter stukje. Een derde macht past eigenlijk wel beter, enz. Als je zo oneindig lang door gaat heb je de functie weer terug.

*) Volgens mij moeten alle afgeleiden eindig zijn ofzo, maar dat lukt wel met sinussen e.d.

[Bert]

Eigenlijk kun je vele* functies zo schrijven, in ieder geval sinus, cosinus, polynomen, en functies die bestaan uit vermenigvuldiging en delingen van die dingen.

Deze andere schrijfwijze het een Taylor polynoom, waar waarschijnlijk op internet genoeg over te vinden is. De truc van het taylor polynoom is te zeggen dat de functie op een klein stukje lijkt op een rechte lijn. Hij lijkt nog iets beter op een parabool, op een groter stukje. Een derde macht past eigenlijk wel beter, enz. Als je zo oneindig lang door gaat heb je de functie weer terug.

*) Volgens mij moeten alle afgeleiden eindig zijn ofzo, maar dat lukt wel met sinussen e.d.

Niet Taylor polynoom maar Taylor reeks (een polynoom heeft maar een eindig aantal termen).

Dat de afgeleiden bestaan is niet genoeg. De reeks moet convergeren. Bij e^x is dat zo ongeacht de waarde van x.

[Safe]

\(\lim_{x \rightarrow \infty} ((x+3)e^{\frac{1}{x}}-x) = \lim_{x \rightarrow \infty} (x(e^{\frac{1}{x}}-1)+3e^{\frac{1}{x}})=\lim_{x \rightarrow \infty} x(e^{\frac{1}{x}}-1)+3*\lim_{x \rightarrow \infty}e^{\frac{1}{x}}=\lim_{y \rightarrow 0}\frac{e^y-1}{y}+3=1+3=4\)

Opm:

-eerst x+1 in de noemer vervangen door x (immers x gaat naar oneindig).

-de laatste limiet is een standaardlimiet.

[PeterPan]

Pas de substitutie toe u = 1/(x+1) ofwel x = (1-u)/u.

Dat levert een simpele limiet op.