dr. E. Noether schreef:en omdat \(a,b\)opeenvolgend geldt dus \((a+b)/2 = m \cdot n (1 < m,n < a+b). \)
Is dit een stelling die ik (nog) niet ken? Ik vind het namelijk niet vanzelfsprekend.
De grap is dat het gemiddelde van twee getallen (hier (a+b)/2) altijd tussen die twee getallen ligt (hier a en b). En aangezien a en b twee opeenvolgende priemgetallen zijn, zijn alle getallen tussen a en b géén priemgetallen en dus te schrijven als een niet-triviaal product m.n voor zekere m>1 en n>1.
Nu ga je er wel stilzwijgend van uit dat (a+b)/2 een geheel getal is. Nu is dit wel eenvoudig te bewijzen als a en b priemgetallen zijn en je a=2 hebt uitgesloten, dus ik ben het verder wel met je bewijsje eens.
phi hung schreef:
Nu de vervolgvraag op raadsel 3:
Welke persoon aan tafel heeft de grootste kans de 1-na-laatste te zijn die het bier krijgt te proeven? (neem aan dat het glas nooit leeg raakt).
In essentie de volgende agrumentatie (met een scheel oog kijkend naar mijn bewijs van raadsel 3):
Elk paar aangrenzende personen heeft dezelfde kans als laatste tweetal over te blijven, behalve het paar 1-n. De kans daarop is 0, Dus alle personen behalve 1 en n (de laatste) hebben gelijke kans en de grootste kans als een na laatste over te blijven.
Persoon 1 en persoon n hebben ook kans om als 1-na laatste het glas bier te proeven, hoor. Hoe groot is die kans? En voor de andere personen?
En wat is de kans dat een persoon m het bier als 2-na laatste proeft?
degene die het bier als eerste krijgt heeft 0% kans om het bier als laatste te krijgen. (iemand moet het bier als eerste krijgen anders kan het bier niet doorgegeven worden)
Het klopt wel, dat alle personen evenveel kans hebben om als laatste het bier te proeven.
Bij n+1 personen:
De persoon die het bier als eerste krijgt, had kans 1/2 dat hij het bier niet als eerste had gekregen. En als hij het glas niet als eerste had gekregen, was er vervolgens een kans van 2/n dat de andere persoon naast hem het bier eerder kreeg dan hem.
Voordat het bier is doorgegeven, is de kans dat hij het bier als laatste krijgt dus 1/2 maal 2/n (zie laatste regel van dit bericht), en dat is 1/n.
Toelichting:
Verplaats je eens in een van de personen aan tafel. Er komt dan zeker een moment (laat ik dit het kritieke moment noemen) dat voor het eerst, een van de twee personen naast je, het glas bier in handen krijgt. Dat is zeker.
Nu moet de persoon die aan de andere kant naast je zit, het bier eerder proeven dan jij; dan ben jij werkelijk de laatste die het bier proeft.
Dit verhaal geldt voor ieder persoon aan de tafel. Alleen de twee personen die naast degene zitten die als eerste het bier in handen heeft, zitten al direct in het kritieke moment. Maar voor elk persoon aan tafel is het zeker dat ze vroeg of laat in eenzelfde kritieke moment komen. En de kans dat het bier vervolgens de hele tafel rond gaat, voordat het bij die persoon komt, is dan 1/n.
Waarom is die kans 1/n ?
Stel dat het kritieke moment voor jou is aangebroken. Nummer dan alle personen aantafel met 0 t/m n. Jij bent persoon 0, de persoon naast je met het bier is persoon 1, de persoon daarnaast is persoon 2, enzovoorts.
Persoon n is dan de persoon naast je die het bier ook nog niet heeft geproefd.
u(x) noem ik de kans dat dat persoon n eerder het glas bier krijgt dan persoon 0 (dat ben jij) op het moment dat persoon x het glas bier heeft.
De vraag is nu: wat is u(1) ?
Daarvoor hebben we de volgende relaties:
u(0) = 0 (triviaal)
u(1) = 1/2 u(0) + 1/2 u(2) = 1/2 u(2)
u(2) = 1/2 u(1) + 1/2 u(3)
u(3) = 1/2 u(2) + 1/2 u(4)
...
u(x) = 1/2 u(x-1) + 1/2 u(x+1) voor 0<x<n
...
u(n-1) = 1/2 u(n-2) + 1/2 u(n)
u(n) = 1 (triviaal)
Dit stelsel van vergelijkingen kunnen we als volgt oplossen (het kan ook met matrix-rekenen of met genererende functies):
In een eindig rijtje van reële getallen is de som van elke 7 opeenvolgende getallen negatief en de som van elke 11 opeenvolgende getallen positief. Toon aan dat de rij hoogstens uit 16 getallen bestaat.
Kijken we naar de elf getallen genummerd 5 t/m 15, dan is met dezelfde logica 9-11 negatief,
dus dan is het achtste getal positief.
In een rij van 16 cijfers moet het negende getal positief zijn (dezelfde logica, nu toepast op de getallen 2-16 i.p.v. de getallen 1-15).
In een rij van 17 cijfers zou ook het tiende getal positief moeten zijn (dezelfde logica, nu toepast op de getallen 3-17). Maar dat is onmogelijk, omdat de som van de getallen 8-10 negatief is en 8 en 9 moesten al positief zijn.
Een ontdekkingsreiziger wil een grote, dorre woestijn oversteken. Deze overtocht neemt exact 5 dagen in beslag. 1 persoon kan enkel voedsel voor 4 dagen met zich mee dragen. De vijfde dag zal hij dus bij gebrek aan voedsel omkomen (we gaan er van uit dat een mens elke dag moet eten om in leven te blijven). Om extra voedsel mee te kunnen nemen huurt de ontdekkingsreiziger dragers. Deze dragers rekenen 100 per dag dat ze weg zijn van huis, en elke drager kan ook maar voedsel voor 4 dagen meenemen. De dragers moeten veilig terug naar huis kunnen keren en mogen niet opgeofferd worden. Wat is het minimum aantal dragers en de minimumprijs die de ontdekkingsreiziger moet betalen?
Desalniettemin sommeerde de accountant-administratieconsulant het achenebbisje jongetje te zandzeepsodemineraalwatersteenstralen.
Ik zou zeggen 1 drager en de minimumkosten zijn 200 euro. Want als je 1 drager meeneemt, en die eerste dag verbruiken zowel de huurder als de drager het voedsel van de drager (dus voedsel voor 2 dagen), na de eerste dag mag de drager terug naar huis, die dan nog voedsel verbruikt voor 1 dag en overschot voor 1 dag overhoudt. Hij is dus 2 dagen weggeweest. De huurder moet dan nog 4 dagen wandelen en heeft nog voedsel voor 4 dagen over.
=> 1 drager, 200 euro minimumkosten.
EDIT: stom van mij, ik had peterpan's bericht niet gelezen
Niet weten is geen schande, niet willen weten wél, en persé beter willen weten ook!
Ik zeg: laat één drager vanuit de eindbestemming op de wandelaar aflopen, die komt hem dan tegen in de ochtend van dag 5, ze eten wat en ze lopen saampjes terug.
5 matrozen overleven een schipbreuk en zwemmen naar een klein eiland waar ze alleen een
kokosnotenboom en een aap aantreffen. De matrozen verzamelen alle kokosnoten en leggen ze in een stapel onder de boom. Uitgeput besluiten ze om pas de volgende ochtend de kokosnoten te verdelen.
Om 1 uur wordt de eerste matroos wakker. Hij realiseert zich dat hij de anderen niet kan vertrouwen en besluit zijn deel alvast te nemen. Hij verdeelt de kokosnoten in 5 gelijke stapels, maar houdt daarbij een kokosnoot over. Hij geeft die kokosnoot aan de aap, verbergt zijn eigen kokosnoten (1 van de 5 stapels), en plaatst de rest van de kokosnoten (de andere 4 stapels) terug onder de boom.
Om 2 uur wordt de tweede matroos wakker. Zich niet bewust van het feit dat de eerste matroos zijn deel al heeft weggenomen, verdeelt ook hij de kokosnoten in 5 gelijke stapels en houdt daarbij ook 1 kokosnoot over, die hij aan de aap geeft. Dan verbergt hij zijn kokosnoten (1 van de 5 stapels), en
plaatst de rest van de kokosnoten (de andere 4 stapels) terug onder de boom.
Om 3, 4 en 5 uur worden achtereenvolgens de derde, vierde en vijfde matroos wakker en voeren dezelfde handelingen uit als de eerste matrozen.
's Morgens,proberen ze allemaal zo onschuldig mogelijk te kijken. Geen van de matrozen maakt een
opmerking over de stapel kokosnoten en geen van hen besluit om eerlijk te zijn. Ze verdelen de
kokosnoten voor de zesde maal in 5 gelijke stapels en houden daarbij alweer 1 kokosnoot over, die
ze aan de aap geven. De Vraag: Wat is de kleinste hoeveelheid kokosnoten waaruit de
