Afgeleide van de normale verdelingsfunctie

[raintjah]

Ik heb het geprobeerd, maar ik betwijfel of het wel juist is omdat het al zo lang geleden is dat ik nog een afgeleide berekend heb:

[Rogier]

In de tweede regel gaat het mis: de afgeleide van

\(-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\)

is niet

\(-\frac{x-\mu}{\sigma}\)

maar

\(-\frac{x-\mu}{\sigma}\cdot\frac{1}{\sigma}=-\frac{x-\mu}{\sigma^2}\)

[raintjah]

En nu:



Als je weet dat de buigpunten liggen op de plaats waar de tweede afgeleide 0 is. Zijn de buigpunten hier dan:

\(x=\mu+\sigma\)

?

Als je de grafiek bekijkt zou je zeggen dat er ook een buigpunt is in x=0 , maar dat lijkt me uit de tweede afgeleide eerder niet zo te zijn?

mvg

[TD]

Een product is 0 wanneer (minstens) één van de factoren 0 is.

De e-macht zal niet 0 worden, dus is f"(x) = 0 als de tweede term 0 is:

\(\frac{{\left( {x - \mu } \right)^2 }}{{\sigma ^2 }} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - \mu } \right)^2 = \sigma ^2 \Leftrightarrow x - \mu = \sigma \Leftrightarrow x = \mu + \sigma \)

[raintjah]

Ik zie meer als 1 buigpunt (denk ik toch):

[rodeo.be]

Ik zie meer als 1 buigpunt (denk ik toch):

Er zijn er twee. Een "eenvoudige" definitie van een buigpunt is "de plaats waar je, als je met de fiets over de kromme rijdt, je stuur van kant moet wisselen[/quote]. Zo zie je dat het middelste punt geen buigpunt is, het is een extremum (eerste afgeleide=0).

Je hebt wel degelijk twee nulpunten, symm. tov y-as:

\(\frac{{\left( {x - \mu } \right)^2 }}{{\sigma ^2 }} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - \mu } \right)^2 = \sigma ^2 \Leftrightarrow x - \mu = \sigma \Leftrightarrow x = \mu + \sigma\)

maar ook:

\(\Leftrightarrow \left( {x - \mu } \right)^2 = \sigma ^2 \Leftrightarrow x - \mu = -\sigma \Leftrightarrow x = \mu - \sigma\)

TD was de gevalopsplitsing door het kwadraat vergeten ( )

[TD]

Dat had ik inderdaad niet gedaan, ik werkte (zonder al teveel nadenken) naar de oplossing die raintjah reeds aangaf.

Die definitie vind ik wel nogal vreemd. Wiskundig is'ie sowieso niet (zo ook niet bedoeld), maar ik vind het ook niet echt duidelijk.

Een buigpunt heb je per definitie waar de tweede afgeleide van teken wisselt. Een nulle tweede afgeleide is dus een nodige, maar geen voldoende voorwaarde indien deze bestaat.

[Sybke]

Waarom zou je de normaalverdeling differentiëren?

[raintjah]

Om de buigpunten te berekenen.

[Sybke]

De buigpunten zijn:

mu.gif + sigma.gif

mu.gif - sigma.gif

[wanderlust]

Waarom zie ik de afbeeldingen niet?