Hehehe - oepsie. Ik moet ook eigenlijk eerst de formules op papier uitschrijven voordat ik ze in LaTeX invoer. Het kwam doordat de inverse van...
\(\alpha\)
zo mooi overeenkwam met de nieuwe straal in het gelinkte document dat ik niet meer de moeite nam om de formules na te lopen. Ik heb de teller en noemer omgedraaid, en de formule is dus gewoon fout. M'n aanname was oorpronkelijk dat het hoekmoment van de aarde t.o.v. de zon hetzelfde blijft tijdens het massaverlies. (Ik ben alleen niet helemaal zeker van de juistheid van deze aanname...) Zowel de straal als de cirkelsnelheid veranderen langzaam, terwijl de zon langzaam haar massa afstoot in de vorm van zonnewind.
In feite hadden de formules er zo uit moeten zien:
Het hoekmoment blijft hetzelfde:
\(r_1 \cdot V_c_,_1 = r_2 \cdot V_c_,_2\)
of \(\frac{r_1}{r_2} = \frac{V_c_,_2}{V_c_,_1}\)
Het omschrijven van de formule voor de cirkelsnelheid geeft een tweede verband tussen de snelheid en de straal:\(r_1 = \frac{GM_1}{V_c_,_1^2} \)
en \(r_2 = \frac{GM_2}{V_c_,_2^2} \)
Zoals eerder, \(GM_2 = \alpha GM_1\)
Dus:\(r_2 = \frac{\alpha \cdot GM_1}{V_c_,_2^2} \)
of:\(r_2 = \alpha \cdot r_1 (\frac{V_c_,_1}{V_c_,_2})^2 \)
, of \(\frac{r_2}{r_1} = \alpha \cdot (\frac{V_c_,_1}{V_c_,_2})^2 \)
De gelijkheid van het hoekmoment kan je er dan uitdelen:\(1 = \alpha \cdot \frac{V_c_,_1}{V_c_,_2} \)
, ofwel \(\frac{V_c_,_2}{V_c_,_1} = \alpha \)
En vanwege de gelijkheid van het hoekmoment:\(\frac{r_1}{r_2} = \alpha \)
Dus:\( r_2 = \frac{r_1}{\alpha}\)
Op zich is het natuurlijk ook waar dat de aarde dus door een grotere hoeveelheid zonnewind beweegt en daar misschien wrijving door ondervindt - dat moet de volgende stap maar worden.In ieder geval, als je nu aannneemt dat het massaverlies van de zon in twee fasen gebeurt: In de voorlaatste fase van het leven van de zon wordt de massa langzaam uitgestoten als een verhoogde zonnewind, en in de laatste fase quasi-instantaan. Als nu beide fracties opgeteld gelijk zijn aan 54% van de beginmassa, dan kan de tweede fase niet leiden tot ontsnappingssnelheid, maar zou wellicht wel de baan van de aarde elliptischer maken.
PS. Op zich is het wel interessant om de baanmechanica te bestuderen rond een centrale massa waarvan de massa afneemt met de tijd. Het is weer eens wat anders. Hehehe - toch is het denk ik beter als ik er nog wat dieper over nadenk...