Kansrekening

[EvilBro]

Jullie zeggen dat in een jongetje-meisje huis de kans dat een meisje opendoet 50 % is. Cassanne en ik zeggen dat die kans er niet toe doet, omdat gegeven is dat er een meisje voor mijn neus staat, zodat de kans dat ik voor elk van de drie huizen met minstens een meisje sta al op voorhand 100 % is.

In dat geval zou ik mijn post nog maar eens bekijken. Verander de "open doen"-kans P(m open|jm) maar eens en je zult zien dat het uitmaakt. Jouw antwoord geldt alleen als een meisje altijd open doet zodra dat kan. Dit doe je ook in je balletje balletje voorbeeld. Alle stenen liggen zo dat je altijd het 'meisje' ziet als het er is.

[Rogier]

Jullie zeggen dat in een jongetje-meisje huis de kans dat een meisje opendoet 50 % is. Cassanne en ik zeggen dat die kans er niet toe doet, omdat gegeven is dat er een meisje voor mijn neus staat, zodat de kans dat ik voor elk van de drie huizen met minstens een meisje sta al op voorhand 100 % is.

Ja, maar dat gegeven bepaalt wel hoe waarschijnlijk de verschillende situaties waarin er een meisje opendoet, onderling zijn.

Jouw balletje balletje voorbeeld is niet hetzelfde, wel als je het zo stelt:

[Jan van de Velde]

Jullie zeggen dat in een jongetje-meisje huis de kans dat een meisje opendoet 50 % is. Cassanne en ik zeggen dat die kans er niet toe doet, omdat gegeven is dat er een meisje voor mijn neus staat, zodat de kans dat ik voor elk van de drie huizen met minstens een meisje sta al op voorhand 100 % is.

Ja, maar dat gegeven bepaalt wel hoe waarschijnlijk de verschillende situaties waarin er een meisje opendoet, onderling zijn.

En ons gaat het erom dat die waarschijnlijkheid dat er een meisje opendoet er niet toe doet, want dat dat een gegeven is. En nou begin ik mezelf te herhalen. Zoals eerder gezegd, ik leg me neer bij Rogier"s en Brinx" interpretatie. Maar ik blijf er een beetje ongelukkig bij

[Rogier]

En ons gaat het erom dat die waarschijnlijkheid dat er een meisje opendoet er niet toe doet, want dat dat een gegeven is. En nou begin ik mezelf te herhalen. Zoals eerder gezegd, ik leg me neer bij Rogier"s en Brinx" interpretatie. Maar ik blijf er een beetje ongelukkig bij  

Da's zonde, zoiets moet toch kunnen worden verhelderd

Probeer anders eens deze vergelijkbare vraag met jouw denkwijze te beantwoorden: in een huis worden 2 dobbelstenen gegooid. Jij kijkt door de brievenbus naar binnen en ziet er één liggen, dit is een 6. Wat is de kans dat de andere ook een 6 is?

[TD]

Zie eventueel deze en deze link voor (mogelijke) verheldering.

[Jan van de Velde]

met die eerste link wordt volgens mij onze verwarring niet opgeheven

Choosing the Family First

Using one interpretation of the problem, we randomly choose a two-child family. Once the family has been selected, we determine that at least one child is a boy. (For example, from all the mothers with two children, we select one and ask her whether she has at least one son.) In this case, an unambiguous statement of the question could be:

From the set of all families with two children, a family is selected at random and is found to have a boy. What is the probability that the other child of the family is a girl?  

Let's look at the possible combinations of two children. We'll use B for Boy and G for girl, and for each combination we'll list the older child first. There are four possible combinations:

BB BG GB GG

BG and GB are listed separately because BG represents a family in which the oldest child is a boy, while GB represents a family in which the oldest child is a girl. Each of the above combinations is equally likely. Since we're told that one child (we don't know which) is a boy, we can eliminate the GG combination. Thus, our remaining possible combinations are:

BB BG GB

 

Each of these combinations is still equally likely.

Now we want to count the combinations in which the "other" child is a girl. There are two such combinations: BG and GB.  

Since there are three combinations of possible families, and in two of them one child is a girl, the probability is 2/3.

En "choosing family first" is volgens mij exact wat we hier doen

From the set of all families with two children, a family is selected at random and is found to have a boy. What is the probability that the other child of the family is a girl? "Uit de verzameling van alle gezinnen met twee kinderen wordt willekeurig een gezin geselecteerd, en blijkt een jongen te hebben. Wat is de kans dat het andere kind van het gezin een meisje is?"

Wat is nou het verschil tussen bovenstaand, en ons probleem??

EDIT: vermoei je nog niet met op bovenstaand bericht te reageren, want jullie interpretatie staat op dezelfde site en ik ben nog aan het uitknobbelen wat tussen die twee nou eigenlijk het wezenlijke verschil is. Nachtje slapen....

[EvilBro]

Het wezelijke verschil zit hem in of een jongen open zou kunnen doen. Bij de 'choosing the family first'-optie wordt impliciet veronderstelt dat als een familie een meisje bevat, een meisje ook de deur open zal doen (er wordt dus van tevoren uitgesloten dat je een JJ-familie treft). Bij de andere optie kan een jongen ook de deur open doen.

Bij de vraag die hier aan het begin gesteld werd staat expliciet dat je geen informatie hebt over de samenstelling van de familie. Van te voren is er dus geen garantie dat een meisje de deur open zal doen. Het zou ook een jongen kunnen zijn. Dat het uiteindelijk een meisje is dat de deur opendoet, verandert niks aan het feit dat het toch een jongen zou kunnen geweest zijn.

Misschien helpt het als je eens met de waarde van P(m open| jm) speelt en kijkt wat het effect is (als je die bijvoorbeeld op 0 zet dan weet je dat als een meisje open doet het een mm-gezin zal zijn). Grappig detail: in eerste instantie had ik mijn 'berekenings'-post gemaakt om Brinx te laten zien dat hij ongelijk had. Pas tijdens het uitwerken van die post kwam ik er achter dat mijn gevoel me bedrogen had (net zoals bij jou) en dat Brinx gelijk had.

[Marconius]

Ik geloof dat bij het oorspronkelijke probleem dat we er toen vanuit zijn gegaan dat de kans op een jm familie evengroot is als op een mm. De kans op een meisje is dan wel 2/3. Er zijn verschillende mogelijkheden van dit probleem, het is maar net hoe je het formuleerd.

[Elke]

Ja, klopt. Het moet 1/3 zijn. Of je moet vragen wat de kans is op een jongen, dat is 2/3.

Nope, jullie zitter er dus al naast, of ik formuleer het wat raar (ik zal even die leraar nog vragen)

Het kwam erop neer dat je twee opties overhield:

jm en mm

De kans dat je een meisje uit het mm huis hebt is 2/3, en dus ook meteen de kans dat de ander een meisje hebt.

Op het moment dat jij aanbelt is het al bepaald.

Misschien is het driedeuren probleem beter:

Je doet mee met een spelshow en je ziet 3 deuren. Achter 1 deur zit een prijs, jij kiest een deur uit (stel je kiest deur 1). De presentator zegt dat er achter deur 2 geen prijs zit. Je mag nu switchen, doe je dat?

Antwoord: absoluut doen, je kans op een prijs wordt nu 2/3 ipv 1/3!

Voor mensen die hier vragen over hebben, lees het boek 'The curious incident with the dog in de night time'. Dit boek gaat over een autistisch jongetje dat heel goed is in wiskunde, hij legt dit heeeel duidelijk uit!

[EvilBro]

Er zijn verschillende mogelijkheden van dit probleem, het is maar net hoe je het formuleerd.

Maar zijn we het er zo langzamerhand over eens dat de formulering bij deze vraag niet de 'family first'-formulering is?

[Rogier]

Ik geloof dat bij het oorspronkelijke probleem dat we er toen vanuit zijn gegaan dat de kans op een jm familie evengroot is als op een mm.

Wel als je daarnaast mj ook als mogelijkheid meetelt. Dus dat er in totaal 4 mogelijkheden zijn voor een familie: mm, mj, jm, jj (allevier met kans 1/4).

De kans op een meisje is dan wel 2/3. Er zijn verschillende mogelijkheden van dit probleem, het is maar net hoe je het formuleerd.

Volgens mij niet hoor, dit was de oorspronkelijke vraag:

In een huis wonen twee kinderen. Je weet niet van welk geslacht. Je belt aan en een meisje doet open, hoeveel is de kans dat het andere kind ook een meisje is?

Deze vraagstelling lijkt me niet ambigu en heeft maar één mogelijk antwoord: 50%.

Maar zijn we het er zo langzamerhand over eens dat de formulering bij deze vraag niet de 'family first'-formulering is?

Inderdaad (wat mij betreft tenminste ).

[kotje]

Mijn antwoord zal misschien te eenvoudig klinken.

Een meisje doet open dus is er evenveel kans dat het andere kind een jongen of een meisje is dus ik hou het op 50%.

Als ge een kop geworpen hebt, dan is de kans in de volgende worp een kop of munt te werpen 50%.

[Marconius]

Mijn antwoord zal misschien te eenvoudig klinken.

Een meisje doet open dus is er evenveel kans dat het andere kind een jongen of een meisje is dus ik hou het op 50%.

Als ge een kop geworpen hebt, dan is de kans in de volgende worp een kop of munt te werpen 50%.

Dit is sowiso te kortzichtig. Zo makkelijk is wiskunde niet

Maar ik denk dat een goede conclusie is dat het antwoord van de formulering afhankt. Het driedeuren probleem is duidelijker.

[Draat]

Er zijn evenveel meisjes als jongens. Als je bij een willekeurig huis aanbelt en een kind doet open dan is de kans dat een meisje opendoet even groot als de kans dat een jongen opendoet (in theorie althans, in de praktijk blijft een jongetje natuurlijk achter zijn spelcomputer zitten).

In een huis wonen twee kinderen. Je weet niet van welk geslacht. Je belt aan en een meisje doet open, hoeveel is de kans dat het andere kind ook een meisje is?

Stel dat het antwoord daadwerkelijk 2/3 was, dan moet het antwoord op deze vraag

In een huis wonen twee kinderen. Je weet niet van welk geslacht. Je belt aan en een jongen doet open, hoeveel is de kans dat het andere kind ook een jongen is?

ook 2/3 zijn! Dus zou de kans dat een willekeurig gezin met twee kinderen een mm-gezin is 1/3 zijn en de kans op een jj-gezin ook! En we zijn het er toch wel over eens dat die kans 1/4 is.

Je kunt het ook gewoon uitschrijven: het meisje dat opendoet kan het tweede kind van een jm-gezin, het eerste kind van een mj-gezin, het eerste kind van een mm-gezin of het tweede kind van een mm-gezin zijn. Het andere kind is dan respectievelijk een jongen, een jongen, een meisje en een meisje. Het intuïtieve antwoord (1/2) is dus gewoon goed.

Anders wordt het als niet het meisje opendeed, maar de huisvader van het gezin. Nieuwsgierig als je bent vraag je: "Hebt u een dochter?", of, preciezer geformuleerd: "Is ten minste een van uw kinderen een meisje?" Als hij bevestigend antwoordt dan is hij vader van een jm-, een mj- of een mm-gezin, met gelijke waarschijnlijkheid. In dat geval is de kans op twee dochters 1/3.

[Brinx]

Nou ja, het moge duidelijk zijn dat ik het standpunt van EvilBro en Rogier deel. Het feit dat er een meisje open doet betekent geenszins dat er altijd een meisje open zou doen bij een j/m gezin. Maar goed, de argumenten hiervoor heb ik al voldoende toegelicht denk ik.

Nu vraag ik me af of Cassanne en Bart toch nog vinden dat dit standpunt hoe dan ook niet geldig is...