Argh, mijn excuses.. Ik heb een in mijn berekening hierboven toch een rekenfoutje gemaakt.. (namelijk bij het wegdelen van m heb ik 2m als m^2 beschouwd) Sorry
Maar goed, om deze opgave uit te rekenen is het handig om gebruik te maken van energieën. We gebruiken twee soorten energie: Potentiële energie en Kinetische energie.
Potentiële energie is de energie die een voorwerp heeft afhankelijk van zijn hoogte boven de grond. Kinetische energie is de energie die een voorwerp heeft afhankelijk van zijn snelheid.
Ik zal hier niet de afleiding van de formules geven, dan moet je er ook begrippen als arbeid en impuls e.d. bij betrekken..
Daarom even de algemeen aanvaarde binas formules:
Potentiële energie (die ik nu even U noem):
U=m*g*h
waarbij m de massa van het voorwerp, g de gravitatie versnelling (+/- 9.8 ) en h de hoogte is.
Kinetische energie (noem ik K):
K=(1/2)*m*v^2
met m weer de massa, en v de snelheid.
In jouw probleem hierboven is het systeem in rust (bolletje A staat op het punt om naar beneden te vallen). Om deze rede is de kinetische energie nul (immers: v=0, dus (1/2)*m*0 = 0).
Het systeem heeft op dit moment alleen potentiële energie, namelijk doordat bolletje A zich op een hoogte van 30 cm boven de grond bevindt.
Bolletje A begint te bewegen, waardoor zijn hoogte afneemt (en dus ook de potentiële energie afneemt). Zijn kinetische energie daarentegen neemt toe, omdat zijn snelheid steeds groter wordt.
Onderaan aangekomen is zijn hoogte nul, en is dus ook de potentiële energie nul. Zijn snelheid is nu maximaal, en daarmee dus ook de kinetische energie maximaal.
Omdat er tijdens dit proces mag worden aangenomen dat er geen energie wordt toegevoegd of afgenomen (bijvoorbeeld door wrijving), is de kinetische energie onderaan gelijk aan de potentiële energie bovenaan. Ofwel: de energie blijft behouden.
Onderaan botsen de bolltjes met elkaar, en gaan nu samen door. Echter, bolletje A moet nu wel zijn energie delen met bolletje B.
De energie die A had, wordt nu dus gebruikt door A en B samen.
De hoogte die de bolltjes nu bereiken kun je uitrekenen door weer de formule voor potentiële energie in te vullen, maar nu zo dat je U al weet en h de onbekende is.
Nu noem ik de lengte van het touw L, en de uiteindelijke hoogte die de bolletjes bereiken H.
De potentiële energie (U_los) van bolletje A op het moment van loslaten wordt dan:
U_los=mA*g*L
met mA de massa van bolletje A
De potentiële energie (U_max) van de bolletjes samen als ze de maximale hoogte bereiken, wordt dan:
U_max=(mA+mB)*g*H
Zoals boven gezegd is de energie van het gehele systeem op het moment van loslaten gelijk aan de energie op de maximale hoogte van beide bolletjes, en dus:
U_los=U_max
Invullen levert:
mA*g*L = (mA + mB)*g*H
We weten dat de massa's van de bolletjes aan elkaar gelijk zijn, en dus kun je ook schrijven:
m*g*L = 2*m*g*H
links en rechts door m*g delen levert:
L=2*H
Dus de nieuwe hoogte H is L/2 (Gewoon de helft van de oorspronkelijke hoogte)
Als je hier even een tekeningetje van maakt, zul je als het goed is de hoek makkelijk kunnen berekenen..
Cos[a]=Aanliggend / Schuine
Aanliggend is: L - H
Schuin is: L
Quotiënt: (L - H)/L
Vullen we nu ff H=L/2 in, dan staat er dus: Cos[a] = (L - L/2) / L
L buiten haakjes werken: L(1 - 1/2) / L = 1 - 1/2 = 1/2
Dus Cos[a] = 1/2
Ofwel: a = ArcCos[1/2]
Zo moet ie kloppen.. Succes ermee
De kortste weg tussen twee punten is nooit een rechte lijn...
