Onzekerheidsprincipe van Heisenberg

[Pongping]

Hey,

Ik weet dat het onzekerheidsprincipe van Heisenberg inhoudt dat je niet tegelijkertijd de snelheid en de positie van een electron kan bepalen. Hoe zekerder je het ene weet, des te onzekerder je het andere weet. Dat is omdat de meting de plaats en de snelheid beinvloedt. Maar dat is met de metingsmogelijkheden die we nu hebben. Kan het niet dat er ooit een metingstechniek ontstaat die ons wel de mogelijkheid geeft om beide te weten, 100% zeker ? In andere woorden, is het onzekerheidsprincipe puur ontstaan door praktische redenen of is er echt een wiskundig bewijs hiervoor.

[Rogier]

Nee, het is een fundamentele onzekerheid en niet slechts een praktische tekortkoming. Wiskundig bewijs kan er natuurlijk alleen zijn zolang je aanneemt dat een bepaald model overeenkomt met de realiteit.

[Pongping]

Nee, het is een fundamentele onzekerheid en niet slechts een praktische tekortkoming. Wiskundig bewijs kan er natuurlijk alleen zijn zolang je aanneemt dat een bepaald model overeenkomt met de realiteit.

Ok maar hoe zijn ze er dan zo zeker van ?

[Rogier]

Dat zijn ze niet per se, maar het blijkt in de praktijk overeen te komen met wat er wordt waargenomen.

[StrangeQuark]

Stel je voor dat je een geluidsgolf ziet staan op je osciloscoop, gemeten van een redelijk lang aanhoudende toon, je ziet een aantal golfjes achter elkaar. Laten we zeggen 5 keer top en dal achter elkaar. Als ik je nou zou vragen wat de golflengte van deze golfjes is dan kan je dat makkelijk beantwoorden. Je meet hoe breed de golfjes zijn en je weet dan redelijk precies wat de golflengte is. Als ik je nou zou vragen waar de golf is dan zou je me gepuzzeld aan zitten kijken. Echter als ik nou een heel kort geluidssignaal zou laten horen en dat op de osciloscoop zou zetten dan zie je heel snel over het beeld een enkel golfje lopen. (1 dal en 1 put). Je kan nu redelijk precies nog zeggen welke golflengte het heeft, en nu kun je ook zeggen waar de golf is, je ziet een duidelijk iets voorbij komen. Maar je hebt nu ONGEVEER de plaats en de golflengte. Als je nou exacter de golflengte zou willen weten (door een aantal golven te nemen dat op te meten en te delen door het aantal golven) dan gaat dat ten koste van de exactheid van de plaats (het is een continue golf van op en neer gaande golven, erg breed dus).

In het meest extreme geval en je zou exact de plaats willen weten dan doe je een punt meting, exact kijken waar de golf is. Dat kan wel, maar dan weet je helemaal niet wat de golflengte is.

De golflengte is via de Broglie verbonden met het moment door:

p=(h/lambda)=(2*Pi*hbar)/lambda

(h is plankconstante, lambda is de golflengte)

Dit resulteerd (na wat wiskunde) in het volgende:

(Bron: Wikipedia)

Ik wil best een klein beetje op de wiskunde ingaan, maar ik moet nu naar een tentamen. Dus daar komt ik nog wel op terug. Eens kijken of dat makkelijk uit te leggen is.

[Pongping]

Hartstikke bedankt, Strange Quark. Ik snap het nu veel beter. Dank je wel.

[Rudeoffline]

De quantumfysica werkt met zogenaamde operatoren. Een deeltje wordt voorgesteld door de golffunctie, waar je informatie uit kunt halen door een operator op los te laten. Wil je bv de kinetische energie weten, dan pak je de operator T voor de kinetische energie erbij, laat deze inwerken op psi, en je krijgt dan een oplossing. Het blijkt, dat voor meetbare waarden geldt, dat die operator op psi altijd een getal maal psi geeft. Dus:

T|psi> = constante*|psi>

Je kunt dit vergelijken met bv de afgeleide operator d/dx. Als je deze loslaat op e^cx ( met c constant) dan krijg je ook weer een constante maal je functie terug.

Nou geldt er voor operatoren heel vaak dat de volgorde uitmaakt. Als ik bijvoorbeeld 2 operatoren T en U heb, dan geldt vaak dat TU niet gelijk is aan UT. Dit kun je weer makkelijk voorstellen door bijvoorbeeld T=d/dx te nemen, en U=x. T(U|psi>) is dan niet gelijk aan U(T|psi>). Want

d/dx(x*|psi>) is niet gelijk aan x*d|psi>/dx.

Als de volgorde uitmaakt, dus als TU niet gelijk is aan UT, dan kun je beide grootheden niet tegelijkertijd exact meten. De standaarddeviaties van beide metingen zullen vermenigvuldt altijd groter zijn dan een bepaald klein getal. Dit geldt dus ook voor de plaats en de impulsoperator, maar er zijn nog veel meer operatoren waarvoor dit geldt. Het onzekerheidsprincipe van Heisenberg drukt de onzekerheid dan uit in TU-UT.

[Hyro]

Sorry dat ik dit oude topic omhoog kick maar ik heb een vraagje, uit het bovenstaande, en informatie elders heb ik kunnen opmaken dat het onzekerheidsprincipe als volgt werkt;

-Wij kunnen niet de snelheid en positie van een deeltje tegelijk meten, maar wel de golffunctie.

Maar dan zegt men;

Als een deeltje stilstaat zou dat wel kunnen; dit is in strijd met het onzekerheidsprincipe, dus kan een deeltje nooit stilstaan => nulpuntsfluctuaties.

Toch?

Oftewel men zeg;

stelling A:X kan niet.

stelling B:X kan wel in geval Y.

Dit is in strijd met stelling A, en dus kan X in geval Y ook niet; stelling B is fout.

Een argument wat duidelijk fout is aangezien stelling A door stelling B slechts aangepast wordt en niet weerlegd.

Maargoed waarschijnlijk maak ik hier zelf een fout, aangezien ik nog nooit iemand heb gehoord die de quantummechanica goed beheerst, en die hetzelfde als ik beweerde.

Dus dan zal ik wel fout zitten, toch?

[reindern]

Wij kunnen niet de snelheid en positie van een deeltje tegelijk meten, maar wel de golffunctie.

Volgens mij is dit niet waar (tenminste praktisch gezien), omdat je dan een apparaat zou moeten hebben dat een grootheid meet die correspondeert met een projector I van de gehele Hilberruimte, en zo'n apparaat bestaat volgens mij niet (weet niet of het in theorie mogelijk zou zijn).

Ik denk dat de golven analogie de boel wel redelijk kan verduidelijken. Stel dat je van een deeltje de exacte positie weet, en je stelt je dit voor als een hele hoge piek in een bak water (ahum, misschien een toch wat kromme vergelijking). Als je nu kijkt hoe deze piek water zich ontwikkeld (volgens in de QM de schrodinger vergelijking, maar laten we hier gewoon de newtoniaanse mechanica nemen), dan zal de piek inzakken, en er een volledig symetrische golf alle kanten op gaan. De richting van de snelheid is dus volledig onbepaald, en dit komt weer overeen met het onzekerheids principe van Heisenberg.

[marcus]

Wat is een deeltje. Je kunt zeggen dat een deeltje zich op de piek van een golf bevindt. ik kan me bijvoorbeeld een zeilbootje op de piek van een golf voorstellen maar een zeilbootje heeft ook automatisch een positie én een beweging. Electronen zijn in die zin totaal anders, energiedeeltjes, hebben een golf- , een energie- en een deeltjeskarakter en zijn dus niet los te zien van de golf; deeltje (de energie is verinnerlijkt) en energie karakter (de veruiterlijking van de energie)wisselen elkaar af en deze afwisseling is het golfkarakter.

Metingen die je verricht vallen samen met een bepaalde fase. Bij een trillende snaar kan ik de trilling/beweging (veruiterlijkte energie) niet meten op een knoop wel de positie van de snaar als ik de positie van twee knopen ken.

[physicalattraction]

Wij kunnen niet de snelheid en positie van een deeltje tegelijk meten, maar wel de golffunctie.

Nee, de golffunctie is fundamenteel niet te meten, aangezien dit geen observale is, zoals dat zo mooi heet in de QM. In principe kunnen wij nooit een complex iets meten, maar meten wij altijd of het reële deel ervan, of bijvoorbeeld de absolute waarde. Zo kun je in de QM in principe wel

\(|\Psi|^2\)

meten.

[Hyro]

Dus als ik het goed begrijp is het de golf/deeltjes dualiteit die roet in het eten strooit.

Maargoed; zijn deze nulpuntsfluctuaties dan bedacht dóór of vóór het onzekerheidsprincipe; of om het duidelijker te stellen, stelt het onzekerheidsprincipe dat je dan de snelheid en positie van een deeltje niet kunt meten, of is dit bedacht zodat het strookt met het onzekerheidsprincipe?

[reindern]

Nee, de golffunctie is fundamenteel niet te meten, aangezien dit geen observale is, zoals dat zo mooi heet in de QM. In principe kunnen wij nooit een complex iets meten, maar meten wij altijd of het reële deel ervan, of bijvoorbeeld de absolute waarde. Zo kun je in de QM in principe

\(|\Psi|^2\)

wel  meten.

Hoe meet je

\(|\Psi|^2\)

dan?

En is het inderdaad fundamenteel onmogelijk?

Stel dat ik wil meten of een deeltje zich op x=0 bevindt. Volgens mij kan dit praktisch door een (oneindig kleine) detector op x=0 te zetten die uitslaat als het deeltje zich daar bevindt. De observable correspondeert in dit geval met de operator

\(|x=0><x=0|\)

, en heeft eigenwaarden 0 en 1 in het geval het deeltje wel of niet in x=0 is.

Is het (theoretisch) nu onmogelijk een apparaat te bouwen waarbij de gemeten observable correspondeert met de operator

\(|\Psi_0><\Psi_0|\)

met bijbehorende (reele en positieve) eigenwaarde 0 en 1?

offtopic: Indien ik trouwens de positie van een deeltje bepaal, weet ik (volgens de Kopenhaagse interpretatie) de golffunctie van het deeltje direct na meten overigens exact (de eigenfunctie behorende bij x=0). Meet ik dus op deze manier dan niet (indirect) de volledige golffunctie? En als dat niet zo is; wat is dan het verschil tussen zo'n meting en het preparen van een deeltje in een bepaalde toestand?

[physicalattraction]

Reindern, jouw meting meet toch ook

\(|\Psi|^2\)

? Het meet namelijk een 1 als er wel een deeltje is op

\(x=0\)

en een 0 als er geen deeltje is op

\(x=0\)

. Wanneer je oneindig veel metingen doet aan oneindig veel identiek geprepareerde deeltjes, krijg je de kansverdeling

\(|\Psi(0)|^2\)

.

[reindern]

Hoi physicalattraction, het is allemaal maar lastig hoor die qm

Ik snap je verhaal; maar een antwoord als: oneindig veel metingen op oneindig veel identieke deeltjes geeft je

\(|\Psi|^2\)

vind ik niet een heel bevredigend antwoord op de vraag: kun je de golffunctie van een deeltje meten? Daarbij stel ik me namelijk 1 meting op 1 deeltje voor.

Ik ben alleen bang dat ik er zelf niet zo snel uitkom; je komt direct op vragen van 'wat is een meting', etc; en in mijn geval: als ik meet dat het deeltje op

\(x=0\)

is, was hij dan al in de toestand

\(|x=o>\)

op het moment van meten, of pas daarna (wavefunction collapse), of helemaal niet . En mag je in de eerste 2 gevallen dan niet concluderen dat direct na het meten (ondanks het feit dat je mogelijk door de meting invloed hebt uitgeoefend/het deeltje hebt geprepareerd) het deeltje zich in de toestand

\(|x=0>\)

bevindt, en zijn golffunctie dus na 1 keer meten volledig bekend is?