Vijfdegraadsfunctie opgelost?

[Gamer]

Ik weet niet precies waar ik dit moet posten.Ik post het maar bij “ theorie ontwikkeling” ,omdat dat me toch het beste leek.Ookal is dit niet echt een theorie maar meer een vraag.Gisteravond bladerde ik eens wat in mijn wiskunde boek.Ik kwam een stukje tegen over een man die zei dat een “ 5 de graads functie “ niet kon worden opgelost.Omdat ik me een beetje verveelde besloot ik het eens te gaan proberen.Ik kampte al vrij snel met een probleem toen ik dit had:

2x^5+3x^4+2x^3+3x^2+2x+10 = 0



2x^5+3x^4+2x^3+3x^2+2x = -10

Ik moest dus die 2x^5 en al die anderen proberen op te lossen. Dus dacht ik aan dit:

3^5= 243 = 3*3*3*3*3=243/5 = 48.6+48.6+48.6+48.6+48.6

Dus dacht ik, 2x^5 = 2x/5 wat niet waar is,kwam ik later achter....maar ik zette de hele formule in deze vorm.

2x^5+3x^4+2x^3+3x^2+2x = -10

2x/5 + 3x/4 + 2x/3 + 3x/2 + 2x/1

Dus eerst deed ik: 2x/5 + 3x/4 = 23x/20

En toen: 2x/3 + 3x/2 = 10x/5

En toen... 23x/20+10x/5 = 315x/100

En tot slot: 315x/100+2x/1= 515x/100

Om deze breuk op te lossen deed ik 515/100 ,dat maakt 5.15*100/100

En dus kan je 100 en 100 tegen elkaar wegstrepen,en dan houd je over: 5.15x

Dan word het dus 5.15x=-10 dus -10/5.15 en dat is -1.94174...

Om het antwoord te checken typte ik de formule op de rekenmachine in,en berekende het snijpunt..

De rekenmachine zij: -1.757 ....

Ik stond er nogal van versteld...Ik deed het nog een keer met een andere formule en kwam weer op een antwoord uit dat maar met 0.2 verschilde..

Dus is dit puur toeval?Ja toch?

[Rogier]

Natuurlijk is niet iedere 5e graads vergelijking onoplosbaar.

Deze bijvoorbeeld: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) = x⁵-15x⁴+85x³-225x²+274x-120 = 0 is heel makkelijk, de vijf oplossingen liggen voor de hand.

Waar het om gaat is dat er geen algemene methode bestaat om 5e graads vergelijkingen op te lossen, zoals die er wel zijn voor 4e, 3e en 2e graads vergelijkingen.

[Anonymous]

Natuurlijk is niet iedere 5e graads vergelijking onoplosbaar.

Deze bijvoorbeeld: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) = x⁵-15x⁴+85x³-225x²+274x-120 = 0 is heel makkelijk, de vijf oplossingen liggen voor de hand.

Waar het om gaat is dat er geen algemene methode bestaat om 5e graads vergelijkingen op te lossen, zoals die er wel zijn voor 4e, 3e en 2e graads vergelijkingen.

Tegenwoordig is dit mogelijk heb ik ergens gelezen.

Het had iets te maken met een dubbele 0 ofzo maar ik snapte er niet veel van.

Weet iemand misschien of dat klopt?

[Elmo]

Het is bewijsbaar onmogelijk dat iemand een analytische oplossing kan geven voor een algemene 5de-graads vergelijking. Dus, als jij met

a x^5 + b x^4 + c x^3 + d x^2 + e x + f = 0

begint, dan kan jij hier niet 5 oplossingen voor x uit vinden.

Dit is door Galois in de 18e eeuw al bewezen.

[Rogier]

Ik lees trouwens daarnet dit!

[Elmo]

Ja, ik heb het ook gezien.

is inderdaad het beste dat je kan zeggen...

Ik heb het "wetenschappelijke" artikel (vluchtig) gelezen en er staat eigenlijk niets nieuws in. Hij schrijft het resultaat gewoon in termen van een oneindige reeksontwikkeling waarvoor hij de coefficienten moet berekenen. Net zoals al bekend was sinds ~1900. In mijn ogen is het probleem dat in het algemene geval niet aan de convergentie-eis (vgl. 10) zal worden voldaan... Overigens is het artikel erg onduidelijk geschreven: voor mensen die zelf willen kijken... Verder zijn er natuurlijk al vele numerieke oplosmethodes voor hogere-orde polynomen welke elke dag gebruikt worden. Dat is dus ook niet nieuw.

Op andere fora heb ik mensen horen zeggen dat ze hun linkerhand zouden laten afhakken als dit inderdaad een bewijs voor de ongelijkheid van Galois zou zijn. Dat lijkt me een veilige uitspraak.

Als algemene opmerking, Galois heeft het volgende theorema bewezen:

Stelling (Galois):

Er bestaat geen n>4 zodanig dat a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x¹+a₀=0

een algemene oplossing heeft (in een eindig aantal bewerkingen met optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en worteltrekken).

Het bewijs val Galois voor deze stelling is hard en onweerlegbaar. Dat is het leuke van wiskunde...

Dit betekend dus dat deze methode, als zij al werkt, hooguit een numerieke benader-methode is. Knap dat je daarmee zoveel aandacht krijgen kan. Slecht van Fontys dat ze hier hun naam aan verbinden zonder eigenlijk na te gaan wat de waarde ervan is...

[Xardas]

Het artikel is geen weerlegging van het theorema van Galois. Dat werd al duidelijk in het artikel.

Bring: Unlike quadratic, cubic, and quartic polynomials, the general quintic cannot be solved algebraically in terms of a finite number of additions, subtractions, multiplications, divisions, and root extractions, as rigorously demonstrated by Abel (Abel's impossibility theorem) and Galois. However, certain classes of quintic equations can be solved in this manner. zie: http://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html

Hier is meneer Uytdewilligen op verder gegaan.

De publikatie is eigenlijk een abc-formule voor polynomen van welke graad dan ook.

Ik begrijp niet wat nu ZIJN FORMULE is. Ik heb niet genoeg wiskunde gehad om zijn roots te begrijpen, misschien kan iemand mij dit uitleggen.

[Rogier]

Ik heb inmiddels begrepen dat zijn vinding voorziet in een manier om veeltermen van willekeurige graad numeriek op te lossen (c.q. te benaderen).

Dat valt tegen moet ik zeggen, zoals het werd gebracht impliceerde het bericht iets schokkenders dan slechts een numerieke benadering. Bovendien is het oud nieuws, dit soort oplossingen (ontwikkeling van machtreeksen e.d.) waren al veel langer bekend.

Wel leuk hoor, van die student, maar ik ben bang dat het verhaal enorm is opgeblazen door journalisten zonder kennis van zaken...

[Bert]

Ik heb inmiddels begrepen dat zijn vinding voorziet in een manier om veeltermen van willekeurige graad numeriek op te lossen (c.q. te benaderen).

Dat valt tegen moet ik zeggen, zoals het werd gebracht impliceerde het bericht iets schokkenders dan slechts een numerieke benadering. Bovendien is het oud nieuws, dit soort oplossingen (ontwikkeling van machtreeksen e.d.) waren al veel langer bekend.

Wel leuk hoor, van die student, maar ik ben bang dat het verhaal enorm is opgeblazen door journalisten zonder kennis van zaken...

Ik denk dat het toch iets meer is dan zo maar een numerieke oplossing. Bij het oplossen van vergelijkingen door middel van radicalen wordt het systeem van rationele getallen uitgebreid met wortels, sommen van wortels etc. In deze verzameling getallen die ik voor het gemak met Qr aanduid (Q aangevuld met alle radicalen) is zoals bekend de 2e, 3e en 4e vergelijking oplosbaar maar vergelijkingen van hogere graad in het algemeen niet. Kennelijk bevat de verzameling van algebraische getallen Qa getallen die niet in Qr aanwezig zijn (algebraische getallen zijn alle getallen in Q aangevuld met alle nulpunten van alle polynomen). Als ik het goed begrijp wordt door het toevoegen van extra getallen de algemene 5e graads vergelijking wel oplosbaar (die extra getallen kunnen natuurlijk nooit radicalen zijn). Natuurlijk is het zo dat je de extra getallen door middel van de Jacobi-theta functies moet berekenen en dat is een numerieke berekening maar dat is de berekening van zeg de wortel van 2 ook.

Ik denk overigens niet dat deze wijze van berekening praktisch georienteerd is (numeriek oplossen is zelfs voor de 3e graads vergelijking al eenvoudiger dan algebraisch oplossen) maar gericht is op de theorievorming.

[Elmo]

Op de website van de Fontys hogescholen kon je op dit artikel reageren. Daar hebben een aantal wiskundigen duidelijk uitgelegd waarom dit niet nieuw en ook niet bijzonder is. Tot mijn verbazing stond er vanmorgen:

Vanwege twijfel over de authenticiteit en soms over de kwaliteit van een aantal van de vele reacties die gegeven zijn op bovenstaand artikel, heeft de redactie besloten de reeds gepubliceerde reacties niet langer te tonen en er voorlopig ook geen meer te publiceren. Dat neemt niet weg dat, wie dat wil, nog steeds kan reageren.

Bron.

Dus de reacties bevallen hun niet, en daarom wissen ze ze maar. Dat is toch wel een doodzonde als je pretendeerd serieus met wetenschap bezig te zijn...

@Bert: Waar zie jij voor n=5 een analytische oplossing in Qa? Ik zie alleen een Fourier-achtige reeks met oneindig veel coefficienten, net zoals Cockle en Harley al sinds 1860 wisten. De methode die nu gevonden is, werkt op het zelfde principe, maar is minder efficient.

Overigens: als er voor een n>4 een analytische oplossing gegeven zou worden, dan moet hij ook kunnen laten zien hoe deze reduceerd tot de abc-formule wanneer hij alle coefficienten voor n>2 nul stelt. Het is voor mijn gevoel duidelijk dat dit niet kan vanuit zijn formules.

[Bert]

@Bert: Waar zie jij voor n=5 een analytische oplossing in Qa? Ik zie alleen een Fourier-achtige reeks met oneindig veel coefficienten, net zoals  Cockle en Harley al sinds 1860 wisten. De methode die nu gevonden is, werkt op het zelfde principe, maar is minder efficient.

Overigens: als er voor een n>4 een analytische oplossing gegeven zou worden, dan moet hij ook kunnen laten zien hoe deze reduceerd tot de abc-formule wanneer hij alle coefficienten voor n>2 nul stelt. Het is voor mijn gevoel duidelijk dat dit niet kan vanuit zijn formules.

Wat bedoel je precies met de term "analytische oplossing"?

Om duidelijk te maken wat ik bedoel even terug naar de nulpunten van polynomen van 2e, 3e en 4e graad uitgaande van rationele coefficienten.

Deze vergelijkingen worden opgelost in een getal systeem Qr dat wordt verkregen door de rationele getallen Q uit te breiden met radicalen. Het begin van die uitbreiding bestaat uit het toevoegen van de nulpunten van andere, veel simpelere polynomen van het type x^n-a. Aangetoond kan worden dat de nulpunten van het algemene polynoom van 2e 3e of 4e graad hierin uit gedrukt kan worden. Ik neem aan dat je het met me eens bent dat de getalswaarde van de zoveelste machts wortel uit a verkregen wordt door een numerieke benadering.

Aangetoond is dat dat met een polynoom van 5e graad of hoger niet kan maar het is natuurlijk niet a priori onmogelijk het getal systeem verder uit te breiden met algebraische getallen (die op de een of andere manier "eenvoudiger" te bepalen moeten zijn dan de oplossingen van de willekeurige 5e graads vergelijking zelf) waarin de algemene oplossing van de 5e graads vergelijking kan worden uitgedrukt.

Kennelijk leveren de Jacobi theta functies zulke algebraische getallen op.

Wat je dan doet is niet veel anders als bij de oplossing van de 2e, 3e en 4e graadsvergelijking: de algemene oplossing van de 5e graads vergelijking wordt uitgedrukt in een beperkt aantal algebraische getallen. Dat de getalwaarde van die speciale algebraische getallen door middel van numerieke wiskunde moeten worden berekend (een oneindige reeks in dit geval) is geen argument: de getalwaarde van wortel 2 moet ook numeriek worden berekend.

Zoals ik al zei het lijkt mij een puur theoretisch onderwerp omdat numeriek oplossen van de oorspronkelijke vergelijking mij sneller lijkt.

[Elmo]

Ik geloof dan niet helemaal dat ik je / hem snap (domme natuurkundige probeert wiskunde te begrijpen... ).

Met je eerste alinea ben ik het uiteraard helemaal eens. Maar bij je tweede heb ik een onduidelijkheid. Je zegt daar dat "het natuurlijk niet a priori onmogelijk is het getal systeem verder uit te breiden met algebraische getallen waarin de algemene oplossing van de 5e graads vergelijking kan worden uitgedrukt." Maar dan mogen deze algebraische getallen niet in een eindig aantal bewerkingen met optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en worteltrekken te bepalen zijn, want anders is het in tegenspraak met Galois. Correct? Dat wil dan dus zeggen dat zijn uitbreiding bestaat uit getallen welke niet in een eindig aantal stappen te bepalen zijn. Waarom noem je dat dan een analytische oplossing en geen numerieke (benaderde) oplossing?

Als ik dat artikel lees, dan zie ik nergens iets specifieks voor n=5 staan. Ik zie alleen het algemene geval voor willekeurige n. Als ik jou/hem dus goed begrijp, dan is deze oplossing (door het uitbreiden van de getallenruimte met wat extra getallen) algemeen, en geldig voor alle n. Maar dat zou dus ook betekenen dat zijn geval voor n=2 moet reduceren tot de abc-formule. Is dat (eenvoudig) in te zien?

Overigens is dit duidelijk serieuze wiskunde en vind ik niet dat het in de theorie ontwikkeling thuis hoort. Daarom verplaats ik dit naar het wiskunde forum.

[Bert]

Met je eerste alinea ben ik het uiteraard helemaal eens. Maar bij je tweede heb ik een onduidelijkheid. Je zegt daar dat "het natuurlijk niet a priori onmogelijk is het getal systeem verder uit te breiden met algebraische getallen waarin de algemene oplossing van de 5e graads vergelijking kan worden uitgedrukt." Maar dan mogen deze algebraische getallen niet in een eindig aantal bewerkingen met optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en worteltrekken te bepalen zijn, want anders is het in tegenspraak met Galois. Correct? Dat wil dan dus zeggen dat zijn uitbreiding bestaat uit getallen welke niet in een eindig aantal stappen te bepalen zijn. Waarom noem je dat dan een analytische oplossing en geen numerieke (benaderde) oplossing?

In de link van Xardas http://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html worden de wortels van de 5e graadsvergelijking uitgedrukt in speciale algebraische getallen die door middel van een reekssontwikkeling moeten worden berekend. Maar worteltrekken is (in het algemeen) ook geen eindige bewerking: de getalswaarde van wortel 2 wordt numeriek benaderd. Het lijkt alleen maar eindig omdat we de gewoonte hebben de wortels te laten staan.

Even voor de goede orde: de stelling over de oplosbaarheid van vergelijkingen van graad 5 of hoger is van de wiskundige Abel en niet van Galois.

[Bert]

Even voor de goede orde: de stelling over de oplosbaarheid van vergelijkingen van graad 5 of hoger is van de wiskundige Abel en niet van Galois.

Correctie: Abel schijnt de stelling alleen bewezen te hebben voor n=5.

[Bro]

http://frontpage.fok.nl/nieuws/46190

Uit fok:

Uytdewilligen heeft inmiddels erkend dat hij wat voorbarig is geweest. "Bij nader inzien heb ik inderdaad niet precies een oplossing gegeven voor ieder polynoom", zegt hij nu. Hij is van plan de zaak verder te laten rusten en zich te concentreren op zijn afstuderen en zijn carrière als natuurkundige.

Het is hem dus toch niet gelukt.

suyver