snel buigpunten berekenen

[juliedd]

hey,

weet er iemand toevallig of er een snellere manier is om buigpunten te berekenen dan via de tweede afgeleide? Dit onderwerp komt namelijk vaak voor op het ingagsexamen geneeskunde en dan heb je niet altijd zo veel tijd om op je gemakje alles te gaan berekenen...

hier een voorbeeldoefeningetje:



x³/(x²-1)

[TD]

Als de functie twee keer afleidbaar is, dan heb je een buigpunt waar de tweede afgeleide van teken wisselt; of waar de eerste afgeleide een extremum bereikt.

Wat had jij in gedachte?

[phoenixofflames]

D(f/g)=

(g*Df - f*Dg)/g²

[TD]

Ik vermoed dat juliedd niet zoeer een probleem heeft met het afleiden zelf, maar hoopte op een 'makkelijkere, snellere' manier...

[phoenixofflames]

Ik vermoed dat juliedd niet zoeer een probleem heeft met het afleiden zelf, maar hoopte op een 'makkelijkere, snellere' manier...

ik vind dat persoonlijk al een snelle manier

[TD]

ik vind dat persoonlijk al een snelle manier  

Snelheid is relatief, maar daarover meer in de natuurkundefora

Even on topic: wat betreft dat ingangsexamen. Ik herinner me opgaven waar het al dan niet buigpunt zijn, één van de 4 meerkeuzeopties was. Afhankelijk van de functie kan dat inderdaad wat tijd in beslag nemen, maar het zou goed kunnen dat de andere 3 mogelijke antwoorden veel makkelijker na te gaan zijn! Dat is natuurlijk ook de bedoeling van meerkeuze, probeer daar dan gebruik van te maken.

[juliedd]

de antwoorden bij deze vraag zijn:

a. geen buigpunten

b. vertoont een buigpunt voor x=0

c. vertoont twee buigpunten voor x=-1 en x=1

d. vertoont twee buigpunten voor x= -√3 en x=√3

dus dan moet je zowieso de tweede afgeleide gaan berekenen er is niet het een of andere sneller trukje, als ik jullie goed begrijp

[phoenixofflames]

de antwoorden bij deze vraag zijn:  

a. geen buigpunten

b. vertoont een buigpunt voor x=0

c. vertoont twee buigpunten voor x=-1 en x=1

d. vertoont twee buigpunten voor x= -√3 en x=√3

dus dan moet je zowieso de tweede afgeleide gaan berekenen er is niet het een of andere sneller trukje, als ik jullie goed begrijp

als ik mij niet vergis kunnen we x=-1 en x=1 verwerpen?

voor de eerste afgeleide kom ik uit

[x²(x²-3)]/[(x²-1)²]

kan je de buigpunten voor een groot deel al niet afleiden uit de eerste afgeleide?

[Melissa]

1 en -1 kun je bv al uitsluiten, daarvoor heeft de functie een verticale asymptoot.

En bij x=0 krijg je als functiewaarde f(0)=0 en je merkt ook dat als je x=0.1 neemt dat je dan iets uitkomt kleiner dan nul als functiewaarde en als je x=-0.1 invult dat je iets groter dan nul uitkomt als functiewaarde.

Bovendien zie je onmiddellijk dat de functie meerdere keren afleidbaar is en dat de eerste afgeleide voor x=0 nul geeft en dus kun je daar volgens mij al uit besluiten dat x=0 een buigpunt is en dat dit dus de enige mogelijkheid is van al de 4 meerkeuzemogelijkheden...

Melissa

[TD]

Het buigpunt ligt inderdaad op x = 0, met een beetje inzicht kun je dat ook al aan de eerste afgeleide zijn (die wordt daar namelijk extreem).

[TthijS]

Is de x waarde van een buigpunt altijd een nulwaarde van de 1e afgeleide, nee toch?

[Th.B]

Nee, het is de nulwaarde van de tweede afgeleide. Soms kunnen ze samenvallen, bijvoorbeeld bij f(x) = x³ is de eerste afgeleide nul in het buigpunt (0,0)

[Drieske]

Is de x waarde van een buigpunt altijd een nulwaarde van de 1e afgeleide, nee toch?

Voorbeeldje: f(x) = x³ + 3x² - 3x - 1 heeft een buigpunt in -1 (tweede afgeleide is gelijk aan 6x + 6). De eerste afgeleide is in dit punt niet 0.

[TthijS]

Oke dankjewel, maar wat bedoelt TD dan met dat de x waarde van een buigpunt in de eerste afgeleide altijd extreem wordt?

[Drieske]

Dat je eerste afgeleide in dat punt (het buigpunt) een (lokaal) maximum of minimum heeft... Een extremum dus.